Posloupnosti a řady
Přihlásit se
Posloupnosti a řady (1/9) · 4:27

Symbol sigma pro sumu Při výpočtu sumy, neboli řady po sobě jdoucích čísel, existuje zástupný znak, sigma. Je to proto, abychom řadu nemuseli celou vypisovat. Na první pohled složité, na ten druhý už je to praktická pomůcka.

Navazuje na Posloupnosti.
V tomto videu bych vám rád představil použití symbolu sigma, se kterým se ještě mnohokrát setkáte během své matematické dráhy. Řekněme, že chcete zjistit součet nějakých výrazů a ty následují jistý vzorec. Řekněme, že chcete najít součet prvních 10 čísel. To by se dalo určit jako 1 plus 2 plus 3 a tak dále až k plus 9 plus 10. A já bych zajisté mohl toto všechno rozepsat, ale vy si určitě uvědomíte, že je to obtížnější, pokud hledáme součet prvních 100 čísel. Což by bylo 1 plus 2 plus 3, a tak bychom pokračovali až k plus 99 plus 100. Matematici si tedy řekli, co tak vymyslet způsob zápisu, místo všech těch teček, což také někdy uvidíte, kterým bychom mohli mnohem přesněji vyjádřit tento typ součtu. A tady přichází na řadu použití symbolu sigma. Takže tento součet nahoře, ten první, může být reprezentován jako suma. Použijeme velké sigma, řecké písmeno, takhle. A co uděláme je, že určíme index. A index bychom měli začít nějakou hodnotou. Řekněme, že náš index začíná číslem 1. Použiji „i" pro index. Tedy „i" začíná 1 a pokračuje do 10 . Takže „i" začíná jako 1 a jde dál až do 10. A chceme sečíst tato „i". A jak se toto přeloží do tohoto výrazu? Uděláte to, že začnete stejně jako začíná index. Jestliže index je 1, je také „i" rovno 1. Napište si číslo 1 a potom zvyšte index. Nyní bude „i" rovno 2. „i" je 2. Napíšeme 2. A sčítáme všechny tyto výrazy postupně dohromady. Tak postupujeme dále dokud „i" není 10. Díky tomu, co jsem vám právě řekl, pozastavte si video a zapište pomocí sumy tento součet. Řekněme, že jste si to vyzkoušeli, tedy takhle vypadá ta suma. Podle prvního výrazu se dá snadno říct, že začneme opět s „i" rovno 1. Ale nyní budeme pokračovat dokud „i" nebude rovno 100, a budeme tato všechna „i" sčítat. Zkusme další příklad. Představme si součet pro „i" rovno od 0 do 50... Já nevím... Řekněme pi „i" na druhou. Jak by vypadala tato suma? A opět doporučím pozastavit si video a rozepsat si tento součet. Pojďme krok za krokem. Když je „i" rovno 0, máme pi krát 0 na druhou. Což je samozřejmě 0, ale napíšu ji sem. Pi krát 0 na druhou. Nyní zvýšíme „i". Ujistíme se, že nejsme na této hodnotě, že naše „i" není ještě rovno této hranici, nebo též rovno této maximální hodnotě. Nyní se naše „i" rovná 1, pi krát 1 na druhou... Tedy plus pi krát 1 na druhou. A je 1 naší horní hodnotou pro „i", kde máme skončit? Ne. Takže pokračujeme. Dále se „i" rovná 2, pi krát 2 na druhou... Plus pi krát 2 na druhou. Myslím, že už vidíte ten systém. A takhle bychom pokračovali pořád dál, dokud naše rostoucí „i" nedosáhne hodnoty 49. Tedy to bude pi krát 49 na druhou. Až konečně zvýšíme „i" na „i" rovno 50. Tím získáme pi krát 50 na druhou. Nyní si můžeme říct, že naše „i" je konečně rovno naší horní hodnotě a proto můžeme zastavit. A jak můžete vidět, tenhle zápis pomocí symbolu sigma pro sumu je mnohem přehlednější a mnohem jasněji vyjadřující součet, než vypisování celého součtu. ale uvidíte lidi, kteří budou používat obě formy zápisu.
video