Posloupnosti a řady
Přihlásit se
Posloupnosti a řady (2/9) · 3:56

Úvod do aritmetických posloupností Co je to aritmetická posloupnost? Ukážeme si ji na příkladu, a zároveň si odvodíme užitečný vzoreček pro výpočet jejího součtu.

Navazuje na Posloupnosti.
Vezměme si tu nejjednodušší z aritmetických posloupností a nejspíš nejjednodušší posloupnost vůbec, 1, 2.... Začneme s číslem 1 a postupně zvyšujme o 1, 2, 3 a budeme takto postupovat až k „n". Chci se zamyslet nad tím, čemu se tato suma bude rovnat. Součet posloupnosti, jak už víme, se nazývá řada. Takže čemu se rovná suma, a já ji nazvu „Sn", čemu se rovná toto 1 plus 2 plus 3 a tak dále až k „n"? Zde uděláme malý elegantní trik, kdy přepíšu tento součet který opět označím jako Sn, ale tentokrát budu psát v opačném pořadí. Napíšu „n" plus („n"minus 1) plus („n" minus 2) až k číslu 1. Nyní sečtu tyto dvě rovnice. Vím, že Sn se rovná tomuto, takže přičítáme stejné věci na obou stranách rovnice. Takže na levé straně máme Sn plus Sn, což je 2 krát Sn, a na pravé straně, zde se nám objevuje něco zajímavého, máme 1 plus „n" což je zkrátka „n" plus 1. Dále 2 plus „n" minus 1, což se rovná 2 plus „n" minus 1, tedy opět „n" plus 1, plus „n" plus 1. Nyní 3 plus „n" minus 2. A to bude zase „n" plus 1. Myslím že už vidíte, co se tu děje. A půjde to tak celou dobu až k poslední dvojici. Nejspíš můžeme rovnou říci, že poslední dva výrazy budou „n" plus 1 ještě jednou „n" plus 1. Takže kolikrát tu máme to „n" plus 1? No máme jich „n". Bylo tu „n" sčítanců v každé z rovnic. 1, 2, 3 až do „n". Čili to celé můžeme přepsat jako 2 krát Sn je rovno, zde máme „n" krát („n" plus 1), takže to můžeme rozepsat jako „n" krát („n"plus 1), „n" krát („n" plus 1) a nyní abychom vyřešili, čemu se rovná Sn, naše suma, vydělíme obě strany dvěma. Tak nám zbude suma od 1 do „n" této aritmetické posloupnosti, která se pořád zvyšuje o 1, začíná číslem 1 a rovná se „n" krát („n" plus 1) děleno 2. A toto je hezké, protože nyní lze snadno najít součet, například od 1 do 100, což bude 100 krát 101 děleno 2. Tento součet určíme velmi rychle. Jsem zvědavý na to, co budeme objevovat v následujícím videu, zda-li je možné takové zjednodušení pro každou sumu. Začali jsme s velmi jednoduchou, nejprve 1, pak zvyšování o 1, A nyní máme... Pokud to napíšu takto, „n" krát („n" plus 1) děleno 2. Takže toto „n", to je n-tý výraz v naší posloupnosti, a tato část, ta jednička, je prvním výrazem naší posloupnosti. V tomto případě to vypadá, jako když bereme průměr prvního a n-tého výrazu. Tedy tohleto je ten průměr. Tento výraz je průměr čísla 1 a „n". A následně to vynásobíme n-krát. Zajímá nás, jestli toto bude platit pro všechny aritmetické posloupnosti, zda jejich suma bude průměr prvního a posledního členu krát počet členů.
video