Posloupnosti a řady
Přihlásit se
Posloupnosti a řady (3/9) · 3:32

Odvození součtu aritmetické posloupnosti - doplňující video V minulém videu jsme si odvodili vzoreček na součet aritmetické posloupnosti pomocí matematické indukce. Nyní si ukážeme, že existuje i jiný způsob.

Navazuje na Posloupnosti.
V posledním videu jsme dokázali, že součet všech kladných čísel až do „n" včetně může být zapsán jako „n" krát („n" plus 1) děleno 2, což jsme dokázali indukcí. V tomto videu bych chtěl ukázat, že existuje jednodušší důkaz, který nevyužívá indukci, takže by nepatřil do onoho videa, ukážu vám ale, že existuje. Když víme, že důkaz nemusí být proveden pouze indukcí, definovali jsme si funkci S(n) jako součet všech kladných čísel až do „n" včetně. Takže tohle se podle definice rovná 1 plus 2 plus 3 až do plus („n" minus 1) plus „n", čili jsou to všechna celá čísla až po „n" včetně něho. Takto jsme si to definovali. Můžeme to ještě jednou přepsat. Můžeme říci, že suma S(n), lze ji napsat ale v jiném pořadí, se rovná „n" plus („n" minus 1) plus („n" minus 2) a tak dál až k plus 2 plus 1. K čemu nám tohle je? Můžeme sečíst tyto dva řádky. Když sečteme S(n) plus S(n), dostaneme 2 krát tento součet. Takže sčítáme nalevo a potom i napravo. Takže doopravdy jen sčítáme tuto sumu dvakrát a zajímavé je, jak ji sečteme. Sečteme tenhle výraz s tímto, tenhle výraz s tímhle. Právě se snažíme sečíst tyto dva výrazy. Můžeme je sečíst libovolně, (1 plus „n") se rovná („n" plus 1) a sčítáme 2 plus („n" minus 1) Takže kolik to je? Napíšu to zde: 2 plus („n" minus 1) je totéž jako 2 plus „n" minus 1, což se rovná „n" plus 1, takže tohle bude taky „n" plus 1. A tento výraz 3 plus „n" minus 2 nebo „n" minus 2 plus 3, to bude opět „n" plus 1. A to uděláme s každým výrazem, dokud se nedostaneme sem, „n" minus 1 plus 2 je taktéž „n" plus 1. A konečně máme „n" plus 1 tady. Tedy tato celá suma bude... Kolik („n" plus 1) tu máme? Je jich tady „n", za každý výraz z tohoto součtu. Takže jich je 1, 2, 3 až do „n". Proto máme „n" těchto („n" plus 1). Když sečtete něco n-krát, to je opravdu rovno „n" krát („n" plus 1). Dvakrát suma všech kladných čísel až do „n" bude rovna „n" krát („n" plus 1). Když vydělíme obě strany dvěma, dostaneme výraz pro sumu. Tedy suma celých čísel bude rovna „n" krát („n" plus 1) děleno 2. Toto je důkaz, u kterého jsme nemuseli použít indukci. Je to čistě algebraický důkaz.
video