Posloupnosti a řady
Přihlásit se
Posloupnosti a řady (5/9) · 2:53

Geometrické řady versus geometrické posloupnosti Vysvětlíme si vztah mezi řadou a posloupností. Vztah není těžký, řada je součet jednotlivých členů posloupnosti.

Navazuje na Posloupnosti.
Řekněme, že mám geometrickou řadu. Možná spíše geometrickou posloupnost. Řady přijdou na řadu až za chvilku. Takže geometrická posloupnost, řekněme že začíná číslem 1 a kvocient je 1 lomeno 2. Kvocient je takové číslo, kterým vždy násobíme. 1 krát 1 lomeno 2 je 1 lomeno 2, 1 lomeno 2 krát 1 lomeno 2 je 1 lomeno 4, 1 lomeno 4 krát 1 lomeno 2 je 1 lomeno 8 a takhle se dá pokračovat do nekonečna. To je nekonečná geometrická posloupnost. Také ji umíme zapsat. Dá se zapsat jako posloupnost „a“ s indexem „n“ pro „n“ od 1 do nekonečna, kde „a“ s indexem „n“ je rovno 1 krát náš kvocient na („n“ minus 1). Takže to bude náš první výraz, což je prostě 1, krát náš kvocient, což je 1 lomeno 2. 1 lomeno 2 na („n“ minus 1). A dá se to ověřit. Tuto část můžeme brát jako 1 lomeno 2 umocněno na 0. Tohle je 1 lomeno 2 na 1, toto 1 lomeno 2 na 2. 1 lomeno 2 umocněno na 1, 1 lomeno 2 na 2. Tedy první výraz je 1 lomeno 2 na 0. Druhý výraz je 1 lomeno 2 na 1. Třetí výraz je 1 lomeno 2 na 2. Takže n-tý výraz bude 1 lomeno 2 to na („n“ minus 1). Opravdu to bude 1 lomeno 2 na („n“ minus 1). To by šlo. Nyní řekněme, že nás nezajímá pouze samotná posloupnost, ale také součet této posloupnosti. Takže nejenom, že nás zajímají všechny tyto výrazy, také nás zajímá, co nastane, když násobíme pořád 1 lomeno 2 a sčítáme přitom 1 plus 1 lomeno 2 plus 1 lomeno 4 plus 1 lomeno 8, a tak pořád dál. Tohle už nazveme geometrickou řadou. A protože zde přidáváme nekonečný počet členů, bude to nekonečná geometrická řada. Ta věc zde bude nekonečná geometrická řada. Řada, která je vlastně součtem posloupnosti. Nyní ale jak ji zapíšeme? Můžeme pomocí sumy. Dá se říci, že se toto rovná sumě. Jen se ujistím že se vejdu na stránku. Trochu se posunu doleva. Součet pro „n“ od 1 do nekonečna pro „a“ s indexem „n“. A „a“ s indexem „n“ je 1 lomeno 2 na („n“ minus 1). 1 lomeno 2 umocněno na („n“ minus 1). Tedy dobrá, když se „n“ rovná 1, je to 1 lomeno 2 na 0 což je 1. Potom to sečtu s výsledkem pro „n“ se rovná 2, tedy 1 lomeno 2 a pro „n“ rovno 3, tedy 1 lomeno 4. A tak pořád dál a dál. To, co chci vyjasnit tímto videem, je rozdíl mezi posloupností a řadou, a také vás trochu seznámit se značením. V příštích videích zkusím vyjádřit součet geometrické řady a zjistit, zda nám vůbec vychází konečná hodnota.
video