Posloupnosti a řady
Přihlásit se
Posloupnosti a řady (8/9) · 8:03

Geometrická řada - příklad Vyzkoušíme si nabyté vědomosti na příkladu ze života. Na internetové stránce vzrůstal počet uživatelů měsíčně o 47 %. Kolik měla uživatelů po roce?

Navazuje na Posloupnosti.
Nový sociálně-mediální web se pyšní tím, že velikost jejich uživatelské základny se zvětšila o 47 % každý měsíc uplynulého roku. Počet uživatelů 1.1. tohoto roku byl 50 000. Výraz následující níže udává celkový počet nových uživatelů v tisících, kteří byli přidáni v n-tém měsíci roku, kde n je větší nebo rovno než 1 a menší nebo rovno než 12. A nabízí nám možnosti, jak vyjádřit celkový počet nových uživatelů, kteří se připojili během n měsíců. Doporučuji si nyní pozastavit video a zamyslet se nad tím, který z těchto výrazů ukazuje správně právě tuto hodnotu. Abych to mohl vyřešit, udělám si tady malou tabulku. Řekněme, že máme měsíc, potom počet počátečních uživatelů, takže počet uživatelů na začátku, a potom nás zajímají uživatelé, kteří přibyli. Nechám si tady nějaký prostor na práci. A potom počet uživatelů na konci měsíce. Tedy v prvním měsíci, tedy lednu (můžeme předpokládat), začínáme s 50 000 uživateli. Máme pracovat s tisíci. Takže začínáme s 50 000. A kolik jich přibylo? Přibylo jich 47 % z 50 000 Takže 50 krát 47 %. Tedy 50 krát 0.47. Kolik budeme mít na konci? No 50 plus 50 krát 0,47, to dělá… Napíšu 50 zeleně… to bude 50 krát 1,47. Pokud to není jasné, zamyslete se nad tím. Tohle je 50 krát 1. Takže 50 krát 1 plus 50 krát 0,47. to je 50 krát (1 plus 0,47), neboli 1,47. To bude tahle věc zde. Pojďme na druhý měsíc. Začínáme s tím, co bylo na konci předchozího měsíce. Vlastně to můžu jen nakopírovat. Nechtě mě to provést. Zkopírovat a vložit. S tímhle tedy začínáme. A co budeme teď přidávat? Přidáme tolik, s kolika jsme začali, krát 0,47. A kolik nám tedy vychází teď? Pokud sečteme tyto dvě části, které se taky dají zapsat takto, bude to tenhle výraz krát 1,47. Nebo můžeme napsat 50 krát 1,47 na druhou. A možná už v tom vidíte určitý vzorec. Pojďme na třetí měsíc. Třetí měsíc, s kolika začínáme? Začínáme s tímto počtem. Zase to zkopíruji. Zkopírovat a vložit. S tímto začínáme. A kolik přidáme? Vezmeme tohle a vynásobíme 47 %. Vynásobíme tohle 0,47. A co budeme mít? Máme toto krát 1 plus toto krát 0,47. To bude rovno tohle krát 1,47. Nebo také můžeme napsat 50 krát 1,47 na třetí. Takže jaký je ten vzorec? V každém měsíci začínáme s 50 krát 1,47 umocněno číslem o 1 menším, než je číslo měsíce. Ve třetím měsíci je to na druhou. Ve druhém měsíci to bylo na první. V prvním měsíci, i když to možná nevidíte, ale lze to napsat jako 1,47 na nultou. První měsíc, umocněno na nultou. Druhý měsíc, na prvou. Třetí měsíc, mocnina na druhou. Takže pokud nás zajímá n-tý měsíc, bude to 50 krát 1,47 na (n minus 1), s tím budeme začít náš měsíc. Kolik přibude v n-tém měsíci? Bude to tohle krát 47 %. Takže to bude… Zase zkopíruji a vložím… Tohle krát 47 %. Krát 0,47. A kolik budeme mít na konci? Pokud sečteme tyto dva výrazy, vyjde nám 50 a já to napíšu správnými barvami místo kopírování, vyjde 50 krát 1,47 na n-tou. Takže zamysleme se, jak dojdeme k výrazu pro počet celkových nových uživatelů v tisících, kteří přibyli za n měsíců. Je spousta možností, jak na to přijít. Můžeme se ptát, kolik celkem nových uživatelů jsme měli na konci n-tého měsíce? Na konci n-tého měsíce jich bylo tolik. A dále kolik jich bylo na začátku roku? Bylo jich 50 000. Kolik jich tedy celkem přibylo za n měsíců? To je tohle číslo. Napíšu si ho. Skončili jsme s tímto počtem. Vložím sem. S tímto počtem jsme skončili. A začínali jsme s 50 000 uživateli. Takže tohle říká, kolik jich přibylo. Vypadá nějaký z našich výrazů jako tohle? Ne tak docela. Kdyby tady bylo -50, kdyby tady bylo -50, pak by to sedělo, ale bohužel ne. A žádný z ostatních nevypadá, že by byl v podobném tvaru. Nebo že by se dal na tento tvar upravit. To je jedna možnost, jak na to, ale nevypadá to jako z nabídky. Tak jak jinak se na to dívat? Můžeme doslova sečíst, kolik nových uživatelů jsme přidali v n měsících. Takže můžeme doslova sečíst všechny tyto věci, které jsou zde. Takže pojďme sečíst tyto všechny výrazy. Ale trošku to zjednoduším. Co by šlo vytknout z těchto všech výrazů? Vidíme, že všude je 50. A všude je něco krát 0,47. Tedy vytkněme 0,47 a 50. Vytkněme to. Potom vyjde… když to všechno sečteme, bude to 0,47 krát 50. A potom zbude co? Krát… V prvním měsíci, pokud vytkneme tyto dvě čísla, zůstane pouze 1. Ve druhém měsíci, pokud vytkneme 50 a 0,47, zůstane 1,47. Ve třetím měsíci, pokud vytkneme totéž zůstane 1,47 na druhou. A takhle pokračujeme až k n-tému měsíci. Pokud tyhle věci vytkneme, zůstane 1,47 na (n minus1). Takže který z těchto výrazů vypadá podobně? To je přesně ten druhý výraz, který je zde. To je přesně to, co nám vyšlo. A jsme hotoví.
video