Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (2/19) · 5:48

Neurčitý integrál mocninné funkce Už umíme derivovat jakoukoli mocninnou funkci (tedy xⁿ). Integrál z ní bude podobný, ale musíme si dát pozor, ne úplně stejný. Hned si to i řádně procvičíme.

Navazuje na Derivace funkce.
Vypočítejme derivaci podle x xⁿ⁺¹ lomeno (n plus 1) plus nějaká konstanta c. A budeme předpokládat, jelikož chceme, aby tento výraz byl definovaný, budeme předpokládat, že n se nerovná -1. Pokud by se rovnalo -1, dělili bychom 0, a u toho není definováno, co to znamená. Takže pojďme derivovat. Takže toto bude rovno... Derivace xⁿ⁺¹ lomeno n plus 1, na to můžeme použít pravidlo pro derivaci mocniny. Takže náš exponent je n plus 1. Přeneseme jej dopředu. Takže to bude n plus 1 krát x na... Použiju na to stejnou barvu. Barvy, to je problém. Krát x na... Místo n plus 1, odečteme 1 od exponentu, pouze derivujeme mocninu. Takže n plus 1 minus 1 rovná se n. A pak nesmíme zapomenout, že dělíme tímto n plus 1. Takže děleno n plus 1. A pak máme plus c. Derivace konstanty podle x, konstanta se nemění, když se mění x, takže to bude 0, takže plus 0. A jelikož n není rovno -1, víme, že toto bude definováno. Toto bude něco děleno samo sebou, takže to bude 1. A tento celý výraz se zjednoduší na xⁿ. Takže derivace tohoto výrazu je rovna xⁿ. Takže na základě tohoto, jaký je integrál, jen změním barvu... Jaký je integrál xⁿ? A pamatujte, toto je ten zvláštní zápis, který používáme. Bude to dávat smysl, když přejdeme na určité integrály. Ale jaký je tedy integrál xⁿ? A mohli bychom říct integrál podle x, chceme-li. Jiný název pro toto je neurčitý integrál. Neurčitý integrál. Víme, že toto říká, že xⁿ je derivace čeho? To jsme už vypočítali. Je to derivace tohoto a vyjádřili jsme to obecně. Zahrnujeme tady všechny konstanty. Mohli bychom mít xⁿ⁺¹ lomeno (n plus 1) plus 0, plus 1, plus 2, plus π, plus miliarda. Takže toto bude rovno xⁿ⁺¹ lomeno (n plus 1) plus c. Takže toto je dost užitečné. Můžete to brát jako obrácené pravidlo derivace mocniny. A platí to pro všechna n kromě n rovná se -1. To bych rád zdůraznil. n se nerovná -1. Znovu, toto by bylo nedefinováno, pokud by se n rovnalo -1. Ukážeme si pár příkladů, kde použijeme toto, můžete tomu říkat obrácené pravidlo derivace mocniny, chcete-li, nebo pravidlo integrace mocniny. Takže si vezměme integrál x⁵. Jaký je integrál x⁵? Stačí říct, že 5 odpovídá tomuto n. Musíme jen zvýšit exponent o 1. Takže toto bude rovno x⁵⁺¹. A pak to vydělíme stejnou hodnotou. Ať už byl exponent jakýkoli, když ho zvýšíme o 1, vydělíme to celé stejnou hodnotou, děleno 5 plus 1. A samozřejmě chceme zahrnout všechny případné integrály, takže tady přidáme c. Takže toto bude rovno x⁶ lomeno 6 plus c. A můžete si to ověřit. Zderivujte to pomocí derivace mocniny a opravdu dostanete x⁵. Vyzkoušejme další příklad. Vyzkoušejme... Teď to udělám modrou. Vyzkoušejme integrál... Ať je to zajímavé, řekněme 5 krát x⁻² dx. Takže jak bychom to vyřešili? Můžete to zjednodušit, a ačkoli jsem vám to ještě přesně nedokázal, víme, že skaláry můžeme přesouvat před i za znak integrálu, když tím skalárem násobíme. Takže toto se rovná 5 krát integrál x⁻² dx. A teď jen použijeme, jak bychom řekli, toto obrácené pravidlo mocniny, takže toto bude rovno 5 krát x⁻²⁺¹ lomeno -2 plus 1 plus nějaká konstanta tady. A pak to můžeme přepsat na 5 krát... -2 plus 1, takže x⁻¹, lomeno -2 plus 1, to je -1, plus nějaká konstanta. A to je rovno 5 krát -x⁻¹ plus nějaká konstanta. A pak pokud chceme, můžeme roznásobit 5. Takže to je rovno -5x⁻¹. Teď bychom mohli napsat plus 5 krát konstanta, ale toto je prostě libovolná konstanta. Takže to stále bude libovolná konstanta. Ale možná bychom mohli, pokud chcete ukázat, že to je jiná konstanta, můžeme říct, že toto je c1, c1, c1. Vynásobíte 5 krát c1 a dostanete jinou konstantu. Můžeme ji nazvat prostě c, které je rovno 5 krát c1. Tak a je to. -5x⁻¹ plus c. A opět si to vyzkoušejte zderivovat a uvidíte, že dostanete tento výraz tady nahoře.
video