Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (3/19) · 6:16

Neurčitý integrál zapeklitějšího výrazu V tomto příkladě máme vypočítat integrál z výrazu, který se skládá ze součtu jednotlivých členů. V tomto případě, jak si ukážeme, lze počítat integrály z jednotlivých členů nezávisle na ostatních.

Navazuje na Derivace funkce.
V tomto videu je naším cílem zintegrovat tento šíleně vypadající výraz. Neboli najít neurčitý integrál tohoto šíleně vypadajícího výrazu. Hlavní je si uvědomit, že se tento výraz skládá z několika členů. A neurčitý integrál celého tohoto výrazu bude roven neurčitému integrálu jednotlivých členů. Takže to bude rovno... Můžeme vzít tento člen a určit jeho neurčitý integrál. 7x³ dx. A pak od toho odečteme neurčitý integrál tohoto členu. Takže toto a pak minus neurčitý integrál 5 krát odmocniny z x dx. A pak se můžeme podívat na tento člen. Takže plus neurčitý integrál 18 odmocnin z x lomeno x³ dx. A pak nakonec, už mi docházejí barvy. Nakonec... Potřebuju více barev. Integrál tohoto členu. Takže plus integrál x⁻⁴⁰ dx. Prostě jsem to přepsal a barevně odlišil. Takže zintegrujme všechny členy a uvidíte, že nám na to bude stačit naše obrácené pravidlo derivace mocniny neboli pravidlo integrace mocniny, jakkoli tomu chcete říkat. Začněme s tím prvním členem. Najdeme zatím integrál bez konstanty a konstantu přidáme až na konci. A dostaneme tak ten nejobecnější integrál. Takže tady je exponent 3. Můžeme ho zvýšit o 1. Takže to bude x⁴. Udělám to tou stejnou fialovou. Nebo růžovou. Bude to x⁴. A děleno 4. Takže x⁴ lomeno 4 je integrál x³ a tady jsme měli ještě koeficient. Těch 7 vepředu. Takže ještě přidáme 7 vepředu. Takže máme 7x⁴ lomeno 4. V pořádku. Od tohoto členu odečteme integrál tohoto. Teď možná není jasné, že i na toto lze použít naše obrácené pravidlo derivace mocniny. Ale stačí si jen uvědomit, že 5 krát odmocnina z x je to stejné jako... Je to stejné jako 5x na 1/2. Takže zase stejně, exponent je 1/2, zvýšíme jej o 1. Bude to x na 3/2. A pak děleno navýšeným exponentem. Takže děleno 3/2 a ještě jsme měli vepředu 5, takže ji tam budeme mít i teď. Další výraz vypadá ještě šíleněji, ale opět to můžeme zjednodušit. Toto je stejné... Udělám to tady. Toto je stejné jako 18x na 1/2 krát x na -3. x na 3 ve jmenovateli je to stejné jako x na -3. Máme stejný základ, jen sečteme exponenty, takže to bude rovno 18 krát x na 2 a 1/2. Na 2 a 1/2, nebo ještě jinak, toto je stejné jako 18 krát x na 5/2. Na 5/2. Udělal jsem to správně? Ano, -3... Pardon, tady bude -2 a 1/2 a tady bude -5/2. x na -3 je to stejné jako x na -6/2, -6/2 plus 1/2 je -5/2. Takže zase musíme zvýšit tento exponent. Takže -5/2 plus 1, to bude -3/2. Takže máme x na -3/2 a pak děleno tím zvýšeným exponentem, takže děleno -3/2. A pak máme 18 vepředu. A to budeme muset očividně ještě zjednodušit. A nakonec exponent v tomto členu... Nebudu už používat tuto fialovou. Exponent v tomto členu je -40, když jej zvýšíme, dostaneme x na -39, to vše lomeno -39. A teď můžeme přidat naši konstantu c. A teď už stačí jen zjednodušit tyto šílenosti. Ten první člen je už skoro zjednodušený, můžeme jej napsat jako 7/4x⁴. U tohoto členu je -5 děleno 3/2, takže 5 lomeno 3/2 je rovno 5 krát 2/3, což je rovno 10/3. Takže tento člen se zjednoduší na -10/3x na 3/2. A pak máme celou tuto šílenost. 18 děleno -3/2. 18 děleno -3/2 je rovno 18 krát -2/3, což je rovno... Můžeme to trochu zjednodušit. Toto je stejné jako 6... Toto je stejné jako 6 krát -2, což je rovno -12. Takže tento výraz je -12x na -3/2. A konečně tento člen můžeme přepsat jako... Pokud chceme, můžeme prostě napsat -1/39x na -39. Plus c a máme hotovo. Našli jsme neurčitý integrál celé této šílenosti. A doporučuju vám, abyste si toto zderivovali, na což vám stačí pravidlo derivace mocniny. Zderivujte si to a ověřte si, že se to opravdu rovná výrazu, který jsme právě zintegrovali.
video