Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (5/19) · 7:35

Neurčitý integrál lomené funkce Jak správně zintegrovat funkci 1/x? Pojďme si to rozebrat na grafu s pomocí geometrické interpretace derivace.

Navazuje na Derivace funkce.
V tomto videu bych se rád zamyslel nad integrálem 1/x, jinak řečeno integrálem x⁻¹. My už víme, že pokud bychom zkusili použít pravidlo integrace mocniny, dostali bychom něco nedefinovaného, dostali bychom x⁰ lomeno 0. A to nedává smysl. A možná si říkáte, že víte, co dělat v tomto případě. Když jsme se učili poprvé o derivacích, naučili jsme se, že derivace... Udělám to žlutě. Derivace podle x přirozeného logaritmu x je rovna 1/x. Tak proč nemůžeme prostě říct, že integrál tohoto výrazu tady je roven přirozenému logaritmu x plus c. A ono to není úplně špatně, problém ale je, že to není dostatečně obsáhlé. Když říkám, že to není dost obsáhlé, myslím tím, že definiční obor naší původní funkce, kterou integrujeme, jsou všechna reálná čísla kromě x rovná se 0. Takže tady x nemůže být rovno 0. Ale definiční obor tady jsou pouze kladná čísla. Takže tady pro tento výraz musí být x větší než 0. Takže by bylo dobré, kdybychom našli integrál, který má stejný definiční obor jako funkce, kterou integrujeme. Takže bychom rádi našli integrál, který je definován všude tam, kde je definována naše původní funkce, takže vlastně všude kromě x rovná se 0. Takže jak toto můžeme poupravit, aby to bylo definováno i pro záporné hodnoty? Jedna možnost je přirozený logaritmus absolutní hodnoty x. Přirozený logaritmus absolutní hodnoty x. Napíšu tady malý otazník, protože nevíme jistě, jaká bude derivace tohoto výrazu. Já vám to tady přesně nedokážu, ale pokusím se vám objasnit tu základní myšlenku. Takže abychom to pochopili, načrtněme si přirozený logaritmus x. Udělal jsem to už předem. Takže přibližně takto vypadá graf přirozeného logaritmu x. Takže jak bude vypadat přirozený logaritmus absolutní hodnoty x? Pro kladná x bude vypadat úplně stejně. U kladných x je jejich absolutní hodnota stejná jako ta původní. Takže to pro kladná x bude vypadat úplně stejně. Ale toto bude definováno i pro záporná x. Pokud vezmeme absolutní hodnotu -1, což je 1, dostaneme přirozený logaritmus 1. To je tady. Jak se budeme víc a víc blížit k 0 zleva a budeme brát absolutní hodnoty, tak to bude vypadat přesně jako tato křivka pro přirozený logaritmus x. Levá strana přirozeného logaritmu absolutní hodnoty x bude zrcadlovým obrazem podle osy y. Bude to vypadat nějak takto. Na této funkci je hezké, že je definovaná všude, je definovaná všude kromě... Snažím se to nakreslit co nejsymetričtěji. Je definovaná všude kromě x rovná se 0. Takže pokud zkombinujeme tuto růžovou část a tuto část napravo, když je obě dáme dohromady, dostaneme y se rovná přirozený logaritmus x. Teď se zamysleme nad derivací této funkce. My už víme, jaká je derivace přirozeného logaritmu x. A pro kladné hodnoty x... Zapíšu to. Pro x větší než 0, přirozený logaritmus absolutní hodnoty x je roven přirozenému logaritmu x. Zapíšu to. Je roven přirozenému logaritmu x. A také víme, že jelikož tyto dva výrazy se rovnají pro x větší než 0, pro x větší než 0 bude derivace přirozeného logaritmu absolutní hodnoty x rovna derivaci přirozeného logaritmu x, která je rovna 1/x, pro x větší než 0. Tak si to načrtněme. Udělám to zeleně, je to rovno 1/x. Takže 1/x, to už jsme někdy viděli. Vypadá to nějak takto. Můj nejlepší pokus nakreslit to podle vertikální a horizontální asymptoty. Vypadá to tedy nějak takto. Takže toto tady je 1/x pro x větší než 0. A ukazuje nám to, můžete to jasně vidět, tu směrnici tady. Směrnice tečny je 1 a můžete vidět, když se podíváte tady na křivku derivace, že derivace by tady měla být rovna 1. Když jdeme blíže k 0, máme tady velmi prudkou směrnici vzhůru. A také vidíme, že derivace má velmi vysokou hodnotu. A pak, když jdeme od 0, je to stále strmé, stále strmé, ale pak je to pozvolnější a pozvolnější, až se dostaneme k 1. A pak je to pozvolnější a pozvolnější, ale nikdy se to nedostane do úplné roviny. A to přesně dělá i ta derivace. A co dělá přirozený logaritmus absolutní hodnoty x tady? Když jsme tady, směrnice se velmi blíží 0. Je to symetrické. Směrnice tady je v podstatě opakem směrnice tady. Možná to objasním, když to tady ukážu. Jakkoli vypadá směrnice tady, je přesný opak toho, jaká je směrnice na symetrickém bodě na druhé straně. Když je na druhé straně hodnota směrnice tady, tady přesně bude její opak, bude to přímo tady. A pak je směrnice zápornější a zápornější. Ta směrnice tady. Tady je směrnice +1. Tady to bude -1. Takže tady je směrnice tečny -1. A jak se pak dostáváme blíže 0, bude to čím dál zápornější. Takže derivace přirozeného logaritmu absolutní hodnoty x, když x je menší než 0, vypadá nějak takto. Vypadá takto. A jak vidíte, není to opět žádný ultrapřesný důkaz. Ale vidíte, že derivace přirozeného logaritmu absolutní hodnoty x je rovna 1/x pro všechna x nerovnající se 0. Takže to vidíte a snad si dokážete i představit, že ta derivace... Napíšu to takto. Derivace přirozeného logaritmu absolutní hodnoty x se opravdu rovná 1/x pro všechna x nerovnající se 0. Toto je tedy mnohem lepší integrál 1/x. Má úplně stejný definiční obor. Takže když budeme přemýšlet nad integrálem 1/x... A neudělal jsem tady přesný důkaz. Nepoužil jsem definici derivace a další ty věci. Ale dal jsem vám snad jakýsi vizuální důkaz. Řekli bychom tedy, že to je přirozený logaritmus absolutní hodnoty x plus c, a teď máme integrál, který má stejný definiční obor jako funkce, kterou integrujeme.
video