Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (6/19) · 4:24

Určování integrační konstanty Zajímavý příklad, ve kterém známe funkční hodnotu v daném bodě, ale neznáme předpis funkce, pouze její derivaci. A chceme funkční hodnotu v jiném bodě. Na to využijeme znalost integrování a vyřešíme pomocí dopočítání integrační konstanty.

Navazuje na Derivace funkce.
Víme, že f(2) se rovná 12, f'(x) se rovná 24/x³ a my chceme zjistit, kolik je f(-1). Takže máme derivaci podle x. Možná bychom mohli tuto derivaci zintegrovat a najít tak původní funkci. Tak pojďme na to. Můžeme říct, že f(x) bude rovno integrálu, neurčitému integrálu f'(x), které je rovno 24/x³. Mohl bych to napsat takto, 24/x³. Ale aby se mi s tím lépe pracovalo, zapíšu to jako 24x⁻³, protože jinak by bylo docela těžké určit ten integrál. dx. Takže jaký je integrál 24x⁻³? Použijeme prostě pravidlo derivace mocniny naopak. Takže uděláme to, že zvýšíme exponent o 1. Takže to přepíšu. Bude to 24x na... Zvýšíme exponent o 1, takže to bude x⁻³⁺¹, a pak to vydělíme tím zvýšeným exponentem. Takže -3 plus 1. A to celé tedy bude, -3 plus 1 je x⁻², a pak děleno -2. A pokud nevíte přesně, co jsme tady udělali, tak jsme prostě použili derivaci mocniny naopak. Teď si to zderivujte pomocí pravidla derivace mocniny. -2 krát 24 lomeno -2 bude pouze 24 a pak snížíme exponent, ten bude -3. Takže máme tady hotovo? Je to f(x)? f(x) ještě může obsahovat konstantu. Takže tady dejme konstantu, protože pokud bychom derivovali tento výraz, derivace 24x⁻² lomeno -2 je, jak už víme, 24x⁻³. Ale když derivujeme konstantu, tak ta prostě zmizí. Tu nevidíme, když se podíváme na derivaci. Takže musíme zdůraznit, že tam může být konstanta, a na základě informací, které máme, mám pocit, že tu konstantu využijeme. Takže přepíšu f(x). Víme, že f(x) můžeme vyjádřit jako... 24 lomeno -2 je -12, x⁻² plus nějaká konstanta. Jak tedy zjistíme hodnotu konstanty? Víme, kolik je f(2). f(2) je rovno 12. Zapišme si to. f(2) je rovno 12 což je rovno... Dáme prostě 2 všude tam, kde vidíme x. To bude -12 krát 2⁻² plus c. Takže 12 je rovno tomuto, kolik je toto... 2⁻², to je rovno 1/2² a to je rovno 1/4. Takže toto je -12 krát 1/4. -12 krát 1/4 je -3. Takže to je -3 plus c. Teď můžeme přidat 3 k obou stranám a dostaneme c. Dostaneme, že 15 je rovno c. Neboli c je rovno 15. To se rovná 15. A teď můžeme napsat naše f(x) jako... dostaneme f(x) je rovno -12... A můžu to dokonce napsat jako -12 lomeno x², chceme-li. -12 lomeno x² plus 15. A teď s pomocí tohoto můžeme vyčíslit f(-1). f(-1). Kdekoli vidíme x, dosadíme -1. Takže toto bude -1². Takže f(-1) je rovno 12 děleno... Tedy -12 děleno -1². -1² je prostě 1. Takže to bude -12 plus 15, což je rovno 3, a máme hotovo. Tento výraz je roven 3.
video