Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (11/19) · 4:37

Záměna mezí určitého integrálu Na grafu si spolu odvodíme další důležitou vlastnost určitého integrálu. A to, jak se změní určitý integrál, pokud zaměníme integrační meze.

Navazuje na Derivace funkce.
Už jsme si ukázali jednu definici určitého integrálu a hodně ostatních s touto definicí, kterou jsme si ukázali, souvisí. Určitý integrál od a do b f(x) dx je tato oblast vyšrafovaná modře, a můžeme jej aproximovat tak, že oblast rozdělíme do n obdélníků, takže toto je třeba obdélník 1, toto je obdélník 2. A takto to půjde až k n-tému obdélníku, takže toto by byl obdélník n minus 1. A pro potřeby tohoto videa předpokládejme, že jsou všechny stejné šířky. Takže toto je n-tý obdélník a všechny mají stejnou šířku. Jsou definice integrálu, u kterých nemusí mít obdélníky stejnou šířku. Ale řekněme, že všechny mají tady šířku delta x a delta x spočítáme tak, že vezmeme b minus a a vydělíme to n. Vydělíme to n. Což je logické. Nebo tak jste se to učili u dělení. Vezmeme tuto délku a vydělíme ji n, a tak dostaneme n stejných oddílů o šířce delta x. Když to uděláme, řeknete, že tohle už jste viděli hodněkrát. Můžeme to aproximovat. Můžeme aproximovat tuto oblast pomocí součtu těchto obdélníků. Od i rovno 1 po n. Takže provádíme sumu. Sčítáme n těchto obdélníkových oblastí. Výška těchto obdélníků bude f(xᵢ), kde xᵢ je bod, ze kterého odečítáme hodnotu funkce, a tak zjistili její výšku. Takže toto by bylo x dolní index 1, 2, 3, atd. A to násobíme delta x, krát delta x. Takže vezmete x dolní index 2, jeho f(x) je tato výška tady. f(x dolní index 2) je tato výška tady. To vynásobíme delta x. Dostaneme tuto oblast a to už známe z Riemannova integrálu, kdy jsme to takto aproximovali. A můžeme říct, že toto bude jedna definice určitého integrálu, toto je ta plocha, tady bude limita s "n" blížící se k nekonečnu, kde delta x je definována takto, jen to zkopíruju a vložím. Takže kopírovat a vložit, definována takto. Takže to je jeden způsob, jak na to nahlížet. Teď když máme tuto definici, co si myslíte, že... co si myslíte, nebo jinak, jak si myslíte, že se výraz, který tady právě píšu, bude na základě této definice vztahovat k tomuto výrazu. Všimněte si, že jediná změna je, že místo od a do b teď jdeme od b do a. Jaký asi budou mít tyto dva výrazy vztah? Radím vám, abyste řešení hledali všude tady. A zastavte si k tomu video. Zamysleme se nad tím, co se stane. Toto bude, pokud bych to prostě vzal a okopíroval to, což přesně udělám. Když vezmu toto tady, jelikož jsem prohodil tyto dvě meze, musím je prohodit i tady. Místo b minus a to teď bude a minus b. Bude to a minus b. Takže všechny tyto hodnoty, toto tady, odliším to barvou. Takže tato oranžová delta x bude opačnou hodnotou této zelené. Této zelené delta x. Toto je opačnou hodnotou tohoto a jinak je všechno stejné. Takže jak to dopadne? Takže tady nakonec budu mít opačnou hodnotu tohoto. Takže toto bude rovno minus integrálu od a do b f(x) dx, a to je tedy náš výsledek. Což je další velice důležitá vlastnost integrálů, že když prohodíme meze integrálu, vychází to všechno z tohoto. Místo delta x rovná se b minus a, když prohodíme hranice integrálu, dostaneme a minus b, tedy minus delta x. Neboli opačnou hodnotu původní delta x, což nám pak dá opačnou hodnotu k tomuto. Ještě jednou, toto je velmi užitečná vlastnost integrálů, která vám pomůže pochopit některé intervaly, a někdy je i vyřešit.
video