Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (12/19) · 5:54

Vyčíslení jednoduchého určitého integrálu Pojďme si nyní společně vypočítat určitý integrál, krok po kroku spolu s vysvětlením na grafu.

Navazuje na Derivace funkce.
Máme funkci f(x) je rovno x². A já chci zjistit velikost plochy pod křivkou y se rovná f(x). Takže to je moje osa y. To je moje osa x. A teď si nakreslím moji funkci. Moje funkce vypadá takto. Alespoň tedy v prvním kvadrantu. Zatím ji načrtnu jen tam. Mohl bych ji samozřejmě zakreslit i v druhém kvadrantu. Ale mě zajímá plocha pod křivkou a nad osou x mezi x rovno 1 a x rovno 4. A už mě nebaví aproximovat plochy. Chci najít přesnou velikost plochy pod touto křivkou a nad osou x. A přesnou velikost plochy pod křivkou, tuto hněde vyšrafovanou oblast, určíme pomocí určitého integrálu. Určitého integrálu od 1 do 4 funkce f(x) dx. Tento zápis můžeme chápat tak, že si představíme hromadu, nekonečné množství nekonečně úzkých obdélníků, po jejichž sečtení dostaneme tuto plochu. Nakreslím jeden nekonečně úzký obdélník, možná ne až tak nekonečně úzký. Nakreslím to takto. To by byl jeden z těch obdélníků a tohle další. Mělo by vám to připomínat Riemannův součet. Z toho vlastně vychází Riemannův integrál. Představte si Riemannův součet s nekonečným množstvím těchto obdélníků, jejichž šířka, jak si to já představuju, je dx a výška obdélníku je funkce vyčíslená v x, které je v tomto intervalu. Takže tento zápis reprezentuje plochu jednoho takového obdélníku a my jsme je všechny sčítali. Tohle je takové prodloužené S, které vypadá jako sigma při sumě. Sčítáme nekonečné množství nekonečně úzkých obdélníků, neboli plochy těchto nekonečně úzkých obdélníků mezi 1 a 4. Z tohoto tedy vychází zápis určitého integrálu. Ale stále jsme nic neudělali. Máme jen zápis označující přesnou plochu mezi 1 a 4 pod křivkou f(x) a nad osou x. Abychom už s tím konečně něco udělali, musíme se podívat na druhou základní větu integrálního počtu, druhou část základní věty integrálního počtu. Ta nám říká, že pokud k f(x) existuje integrál, takže f(x) je derivací nějaké funkce F(x), neboli F(x) je integrálem f(x), pak můžu tento výraz vyčíslit, a na to tady máme celé video, které vysvětluje, proč to dává smysl. Toto spočítáme tak, že vyčíslíme integrál f, jeden z integrálů f v bodě 4, a od něj odečteme integrál vyčíslený v bodě 1. Tak to vypočítejme pro toto tady. Takže máme... Jen to přepíšu. Místo f(x) napíšu x². Takže určitý integrál od 1 do 4 x² dx. Teď musíme spočítat integrál tohoto výrazu. Když je tedy f(x) rovno x², čemu je rovno F(x)? Jaký je ten integrál? Snad si pamatujete z pravidla derivace mocniny, že když podle x zderivujeme x³, dostaneme 3x², což je dost blízko x², až na tento násobek 3. Takže vydělme obě strany 3. Vydělíme obě strany 3 a zjistíme, že derivace x³ děleno 3 je opravdu x². Nebo můžeme říct, že toto je to stejné jako derivace podle x x³ lomeno 3. Zderivujte si to. Bude to 3 krát 1/3 a pak snížíme exponent a bude to x². Takže toto je rovno x². Je to rovno x². Takže v tomto případě je F(x), náš integrál, roven x³ lomeno 3. Už ho jen musíme vyčíslit v bodě 4 a 1, a někdy používáme takovýto zápis... Takže integrál je x³ lomeno 3 a budeme jej vyčíslovat... Rád sem vždy píšu ta čísla... Vyčíslovat v bodě 4 a odečítat vyčíslený v 1. Někdy sem někdo píše i takovou malou čáru, tím říkáme, že to vyčíslujeme v bodě 4 a pak v bodě 1. Ale já to napíšu bez té čáry. Když vyčíslíme tento výraz v bodě 4 a od toho odečteme výraz vyčíslený v 1, tak to bude rovno... 4³ je 64, takže to bude 64 lomeno 3. Odliším to barevně, toto tady se rovná tomuto zde, a od toho odečteme toto vyčíslené v bodě 1. Když to vyčíslíme v 1, dostaneme 1³, to je 1, lomeno 3. Dostaneme 1/3. Aby to bylo jasné, toto je toto tady. A teď můžeme tyto zlomky od sebe odečíst. 64 lomeno 3 minus 1/3, to se rovná 63 lomeno 3. A 3 se do 63 vejde přesně 21 krát. Takže jakékoli máme jednotky, obsah této hnědé oblasti je 21 čtverečních jednotek.
video