Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (13/19) · 7:28

Určité integrály se zápornou velikostí plochy Když už víme, jak vypočítat určitý integrál, zkusme tuto výzvu. Čeká na nás integrace funkce kosinu, který má půlku své periody pod osou x, tedy z našeho pohledu zápornou velikost plochy.

Navazuje na Derivace funkce II.
Máme tady graf funkce y se rovná kosinus x. Já chci určit velikost plochy pod křivkou y se rovná f(x) a nad osou x. Udělám to na různých intervalech. Nejprve se zamysleme nad plochou pod křivkou mezi x rovno 0 a x rovno π/2. x rovno π/2. Takže mluvíme o této oblasti. Tuto plochu spočítáme pomocí určitého integrálu od 0 do π/2 kosinu x dx. A pamatujte, je to, jako bychom sčítali hromadu extraúzkých obdélníků šířky dx a výšky hodnoty f(x) u každého obdélníku. A pak vezmeme nekonečné množství těchto nekonečně úzkých obdélníků. A něco takového tento zápis vyjadřuje. Ale my už víme, jak na to. Pomůže nám druhá základní věta integrálního počtu. Musíme je zjistit, jaký je integrál kosinu x. Neboli jaký je nějaký z integrálů kosinu x. Vyčíslit jej pro π/2 a odečíst jej vyčíslený v 0. Takže jaký je integrál kosinu x? Nebo jinak, nějaký integrál kosinu x? Víme, že když derivujeme... Napíšu to tady. Víme, že pokud zderivujeme sinus x, dostaneme kosinus x. Takže integrál kosinu x je sinus x. Proč tedy stále říkám, že sinus x je jen jeden z mnoha možných? Není to jediný integrál toho výrazu. Mohli bychom třeba zderivovat sinus x plus nějakou konstantu a zase bychom dostali kosinus x. Protože derivace konstanty je 0. Toto by mohlo být π, 5, milion, google, jakékoli šílené číslo. Ale derivace tohoto výrazu bude stále kosinus x. Takže když říkám, že musíme najít nějaký integrál, myslím tím, že musíme najít jeden z možných integrálů. Sinus x je asi ten nejjednodušší, protože konstanta je v tomto případě 0. Tak to pojďme vyčíslit. Můžeme to zapsat takto, integrál kosinu, nebo tedy jeden z integrálů kosinu x je sinus x. A vyčíslíme to pro π/2. A od toho odečteme integrál vyčíslený v bodě 0. Takže toto bude rovno... Napíšu to rovnou sem. Toto bude rovno sinus π/2 minus sinus 0, což je rovno... Sinus π/2 je 1. Sinus 0 je 0. Takže to je 1 minus 0, což je rovno 1. Takže velikost plochy této oblasti tady je rovna 1. Teď zkusme něco zajímavého. Zamysleme se nad oblastí... Zamysleme se nad oblastí pod křivkou mezi... Řekněme, mezi π/2 a 3π/2. 3π/2. Takže mezi bodem zde a zde. Takže se bavíme o této oblasti. Bavíme se o té oblasti tady. Toto je 3π/2. Ještě jednou, velikost plochy této oblasti vypočítáme určitým integrálem od π/2 do 3π/2 kosinu x dx. Integrál, nebo tedy jeden z integrálů kosinu x, je sinus x. Vyčíslený pro 3π/2 a π/2. Takže to bude rovno sinus 3π/2 minus sinus π/2. Kolik je sinus 3π/2? Když si rychle vybavíme jednotkovou kružnici, 3π/2 bude ve tří čtvrtinách jednotkové kružnice. Přímo tady. Hodnota sinu je ypsilonová souřadnice na jednotkové kružnici. Takže to je -1. Takže toto je rovno -1. Toto tady, sinus π/2, bude tady nahoře. Takže sinus π/2 je roven 1. To je zajímavé. Dostáváme -1 minus 1, což je rovno -2. Máme tady zápornou velikost plochy. Zápornou velikost plochy. Dává to vůbec smysl? Víme, že v reálném světě je velikost plochy vždycky kladná. Ale co vlastně představuje ta hodnota -2? Snaží se nám naznačit, že naše funkce se nachází pod osou x. Takže to můžeme vnímat jako plochu o velikosti 2, která se ale v tomto případě celá nachází pod osou x. Takže proto je to -2. Velikost plochy je ve skutečnosti 2, ale jelikož je to pod osou x, dostaneme tady zápornou hodnotu. Teď zkusme ještě něco zajímavějšího. Najděme určitý integrál od 0 do 3π/2 kosinu x dx. To nám označuje celou tuto oblast od 0 až do 3π/2. A co si myslíte, že se stane? Pojďme si to vyčíslit. Bude to sinus 3π/2 minus sinus 0. Minus sinus 0. Což je rovno -1 minus 0, a to je rovno -1. Takže co se tady stalo? Celá tato oranžová oblast, kterou jsem vyznačil, je očividně nezáporná, velikost žádné plochy není záporná. A dokonce nejde jen o jednu oblast. Ale co se tady stalo? Viděli jsme, že v prvním případě byla velikost plochy rovna 1. Velikost plochy této první oblasti je 1. A plocha této druhé oblasti je rovna -2. Rovna -2. Takže to můžeme vyjádřit tak, že čistá plocha nad osou x je -1, nebo také že čistá velikost plochy je -1. Bereme tu jednu oblast nad osou x a odečítáme tu druhou dole. Takže určitý integrál, když jej vyčíslujeme pomocí druhé základní věty integrálního počtu, nám dává čistou plochu nad osou x. Když dostaneme záporné číslo, znamená to, že většina plochy je vlastně pod osou x. Pokud dostaneme 0, znamená to, že je to půl na půl. A příklad určitého integrálu rovného 0 je tento integrál od 0 až do 2π. A bude se to rovnat 0, protože máme jednu oblast rovnu 1 a druhou rovnu 1, ale vykrátí se to s touto oblastí rovnou -2. Vyzkoušejme to. Pokud jdeme od 0 do 2π kosinu x dx, bude to rovno sinus 2π minus sinus 0, což je rovno 0 minus 0, což je opravdu rovno 0. Očividně tam nějaká plocha je, ale všechna plocha nad osou x se vykrátila s plochou nacházející se pod osou x.
video