Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (14/19) · 5:05

Výpočet určitého integrálu Příklad na procvičení určitého integrálu u složitější lomené funkce. Proto si integrovanou funkci nejprve upravíme, aby se skládala ze součtu jednoduše integrovatelných funkcí.

Navazuje na Derivace funkce.
Chceme spočítat určitý integrál od -1 do -2 16 minus x³ lomeno x³ dx. Zpočátku to může vypadat hrozivě. Mám tady lomený výraz, x v čitateli a x ve jmenovateli, ale nezapomeňte, stačí nám pár algebraických úprav a bude to vypadat mnohem přitažlivěji. Toto je stejné jako určitý integrál od -1 do -2 16 lomeno x³ minus x³ lomeno x³, minus x³ lomeno x³ dx. A čemu se toto bude rovnat? Bude to rovno určitému integrálu od -1 do -2... Můžu přepsat ten první výraz... Udělám to jinou barvou. Můžu jej přepsat jako 16x⁻³ a ten druhý, tam máme minus x³ lomeno x³. x³ lomeno x³ bude rovno prostě 1. Takže toto bude rovno minus 1 dx. A čemu bude toto celé rovno? Zintegrujeme každou z těchto částí a pak je vyčíslíme v jednotlivých mezích. Pojďme na to. Integrál 16x⁻³, na to použijeme obrácené pravidlo derivace mocniny. Můžeme tomu říkat pravidlo integrace mocniny nebo pravidlo mocniny pro integraci. Zvýšíme exponent o 1, takže z -3 se stane -2, a pak to vydělíme stejným číslem, -2. Takže to bude 16 děleno -2 krát x⁻². Pouze jsem zvýšil exponent a vydělil to stejným číslem. Takže toto je ten integrál. A 16 děleno -2 je -8. Takže máme -8x⁻². A pak integrál -1, to je jednoduše -x. -x. A vy si možná prostě pamatujete, že když zderivujete -x, dostanete -1, nebo si to můžete představit jako -x⁰, protože to vlastně 1 je, vyjde to stejně. Zvýšíme exponent o 1 a dostaneme x¹. A pak to vydělíme 1, můžeme si to tam představit, každopádně se tak či tak dostaneme k minus x. A teď to vyčíslíme. Vyčíslíme to v daných mezích a odečteme od sebe. Vyčíslíme to v bodě -2 a pak to od toho odečteme vyčíslené v -1. Udělám to dvěma různými barvami, abychom se v tom vyznali. Vyčíslíme to v -2 a pak to vyčíslíme v -1. Prvně to tedy vyčísleme v -2. Takže to bude rovno... Když to vyčíslíme v -2, bude to -8 krát x⁻², takže (-2)⁻² minus (-2). A od toho odečteme to stejné vyčíslené v -1. Takže to bude -8 krát (-1)⁻² minus (-1). Takže kolik to tedy bude? (-2)⁻². (-2)⁻² je rovno 1 lomeno (-2)², což je rovno 1/4. Takže toto je rovno +1/4, ale -8 krát +1/4 bude rovno -2. A pak dostaneme -2 minus -2, což je -2 plus 2. Takže to celé, co jsem napsal fialově, bude rovno 0. A pak, když se podíváme na ten oranžový výraz, když to vyčíslujeme v -1, (-1)⁻², to je 1 lomeno (-1)². Takže to bude prostě 1. A pak dostáváme -8 plus 1, což je rovno -7. Takže celé toto se rovná -7. Ale nezapomeňte, že odečítáme -7, takže toto se nakonec bude rovnat, chvilka napětí, bude to rovno +7. Samozřejmě není nutné psát to +, napsal jsem ho tam, abych zdůraznil, že to bude rovno +7.
video