Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (16/19) · 5:00

Výpočet určitého integrálu 3 Další ze série procvičování určitého integrálu. Nyní s funkcí sinus.

Navazuje na Derivace funkce.
Pojďme spočítat určitý integrál od 11π/2 do 6π 9 sinus x dx. Prvně se podívejme, jestli umíme zintegrovat 9 sinus x, a využijeme nějaké vlastnosti integrace a trochu ten výraz zjednodušíme. Takže toto bude rovno... Je to stejné jako 9 krát integrál od 11π/2 do 6π sinu x dx. A jaký je integrál sinu x? Už víme z derivací, že derivace podle x kosinu x je rovna -sinus x. -sinus x. Můžeme to tedy nějak přepsat tak, abychom tady dostali -sinus x? Co kdybych to vevnitř vynásobil -1? Nemůžu to ale násobit jen na jednom místě, musím to vynásobit -1 dvakrát, abych nezměnil hodnotu výrazu. Takže co kdybych napsal -9 krát -sinus x? Stále to bude 9 sinus x. Kdybychom vzali -9 krát -sinus x, dostaneme 9 sinus x, a udělal jsem to proto, že teď -sinus x odpovídá derivaci kosinu x. Takže můžeme říct, že toto celé se bude rovnat... Bude se to rovnat... Vepředu máme -9, -9 krát... Dám to do závorek. -9 krát integrál -sinu x, to je kosinus x, kosinus x, a vyčíslíme to v zadaných mezích. Vyčíslíme to v 6π... Udělám to barvou, kterou jsem ještě nepoužil. Vyčíslíme to pro 6π a pak to vyčíslíme i v 11π/2. 11π/2, takže to bude rovno... Bude to rovno -9 krát... Udělám si to trochu místa. To je asi více místa, než budu potřebovat. Bude to kosinus 6π, kosinus 6π, minus kosinus 11π/2, kosinus 11π/2. Kolik bude kosinus 6π? Kosinus jakéhokoli násobku 2π bude roven 1. Můžeme si 6π představit, jako bychom obkroužili jednotkovou kružnici třikrát. Toto bude tedy stejné jako kosinus 2π, nebo jako kosinus 0, takže to bude rovno 1. Pokud vám to nic neříká, zopakujte si jednotkovou kružnici kosinu. A jaký je kosinus 11π/2? Odečtěme nějaké násobky 2π, abychom dostali hodnoty, kterým budeme lépe rozumět. Takže toto je... Napíšu to tady. Kosinus 11π/2 je to stejné jako... Když odečteme... Je to stejné jako kosinus 11π/2 minus... Je to stejné jako 5 a půl π, že? Takže toto si můžeme představit jako... Mohli bychom odečíst 4 π, což bude... Mohli bychom to napsat jako 8π/2. Ne, odečtěme 5. Ne, odečtěme 4π, což je 8π/2. Takže opět odečítám násobek 2π, což mi nezmění hodnotu kosinu, a bude to rovno kosinu 3π/2. A když si představíme jednotkovou kružnici, nakreslím ji tady. Takže to je moje osa y, moje osa x, a pak jednotková kružnice, ups. Takže jednotková kružnice. Takže když začneme v 0 a pak jdeme k π/2, pak jdeme k π a pak k 3π/2, je to tento bod na jednotkové kružnici. Kosinus je souřadnice x, takže to bude 0. Toto je 0, takže toto je 0, takže dostáváme 1 minus 0, takže to celé v závorce má hodnotu 1, takže nám zůstává... Pojďme na to. Toto celé se rovná 1. Takže máme -9 krát 1, což je jednoduše -9, to je hodnota našeho určitého integrálu.
video