Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (17/19) · 7:27

Výpočet určitého integrálu 4 Příklad podobný prvnímu v této sérii. Máme složitější lomenou funkci a nejprve ji upravíme. Nyní nám to ale povede na integrál z funkce 1/x.

Navazuje na Derivace funkce.
Spočítejme určitý integrál od 2 do 4 6 plus x² lomeno x³ dx. Zpočátku to může vypadat hrozivě. Máme tady lomený výraz. Ale když to přepíšeme, možná vás napadne, jak by se to dalo zjednodušit. Takže toto je rovno integrálu od 2 do 4 6 lomeno x³ plus x² lomeno x³ dx. Jen jsem rozdělil čitatel. Vydělil jsem každý člen x³. A toto můžeme přepsat. Je to rovno integrálu od 2 do 4 6x⁻³, to je ten první člen. A x² děleno x³, to bude 1 lomeno x. Takže plus 1 lomeno x dx. Toto bude rovno... Zintegrujeme každou část a vyčíslíme to v bodě 4 a vyčíslíme to v bodě 2. A pak je od sebe odečteme, ty integrály vyčíslené ve 4 a ve 2. Jaký je integrál 6x⁻³? Tady můžeme zase použít pravidlo integrace mocniny, neboli obrácené pravidlo derivace mocniny. Víme, že když integrujeme xⁿ dx, integrál toho výrazu bude xⁿ⁺¹ lomeno n plus 1. A kdybychom počítali neurčitý integrál, bylo by tam ještě plus c. My sem to plus c nedáváme, protože když vyčíslíme integrál v obou mezích, ty konstanty "c" se vykrátí, ať už jsou jakékoli. Takže nás to "c" moc nezajímá, když řešíme určité integrály. Ale pojďme použít to pravidlo na 6x⁻³. Takže to bude... Budeme mít x na -3 plus 1. To je x⁻². A potom ještě vydělíme -2. A ještě jsme tam měli 6 vepředu. To je tedy integrál 6x⁻³. A jaký je integrál 1 lomeno x? Možná byste rádi použili tu samou myšlenku. Svádí vás to říct, že integrál x⁻¹, což je to stejné jako 1 lomeno x, bude roven x na -1 plus 1 lomeno -1 plus 1. Ale kolik je -1 plus 1? To je 0. Takže toto pravidlo tady nelze použít. Ale naštěstí pro nás je tady jiné pravidlo. A už jsme to dělali, když jsme se učili derivovat přirozené logaritmy. Integrál 1 lomeno x, neboli x⁻¹, je roven... Někdy to uvidíte napsané jako přirozený logaritmus x plus c. A někdy, a to mám já osobně radši, protože pak to můžeme vyčíslit i pro záporné hodnoty, používáme absolutní hodnotu, přirozený logaritmus absolutní hodnoty z x. Je to užitečné, protože pak je to definováno i pro záporné hodnoty, nejen pro ty kladné. Přirozený logaritmus x je definován pouze pro kladné hodnoty x, ale když použijeme absolutní hodnotu, můžou tady být záporné i kladné hodnoty x. A funguje to, derivace tohoto je skutečně 1 lomeno x. Není to tady tak podstatné, jelikož máme obě meze integrace kladné. Ale pokud by meze integrace byly záporné, stále to jde, když si vzpomeneme, že tady je přirozený logaritmus absolutní hodnoty z x. Takže toto bude plus přirozený logaritmus absolutní hodnoty z x. Není špatné to tam napsat a pokud jsou meze kladné, absolutní hodnota z x bude rovna x. Takže čemu se bude toto rovnat? Je to rovno... Vyčísleme to v bodě 4. Ale než to vyčíslím ve 4, kolik je 6 lomeno -2, to je -3. Takže když to vyčíslíme ve 4, bude to -3 lomeno 4². 4⁻² je 1 lomeno 4². A pak plus přirozený logaritmus absolutní hodnoty ze 4, ale absolutní hodnota ze 4 je prostě 4. Takže přirozený logaritmus 4. A od toho odečteme všechno vyčíslené v bodě 2. Pojďme na to. Pokud to vyčíslíme pro 2, bude to -3 lomeno 2². 2⁻² je 1 lomeno 2², plus přirozený logaritmus absolutní hodnoty z +2, což je opět prostě 2. A kolik nám to dává? Pojďme to trochu zjednodušit. Toto je -3/16. Uděláme to stejnou barvou. To bude tedy rovno -3... Pardon, ne 3/16, pozor na to. Ale ano, pardon, je to -3/16. Z nějakého důvodu můj mozek začal myslet na 4³. -3/16 plus přirozený logaritmus 4. A pak tady máme -3/4. Udělám to stejnou barvou. Toto je -3/4. Máme tady znaménko minus, kterým to musíme roznásobit. Takže zápor z -3/4 je +3/4. +3/4. A pak odečteme, nezapomeňte na to znaménko minus, přirozený logaritmus 2. A čemu se to rovná? Takže toto bude rovno... A teď to napíšu neutrální barvou. Sečtěme tyto dva členy, které neobsahují přirozený logaritmus. Zkusíme najít společného jmenovatele, 3/4 je stejné jako... Když vynásobíme čitatel i jmenovatel 4, je to 12 lomeno 16. Takže máme -3/16 plus 12/16, to nám dá 9/16. A pak máme ty členy, které obsahují přirozený logaritmus. Přirozený logaritmus 4 minus přirozený logaritmus 2. To můžeme napsat jako plus přirozený logaritmus 4 minus přirozený logaritmus 2. A možná si vzpomínáte na vlastnosti logaritmu, že toto je stejné jako přirozený logaritmus 4 děleno 2. Jen používám vlastnosti logaritmu. Takže toto bude přirozený logaritmus 2. Teď si zasloužíme trochu oslavných fanfár. Toto celé bude rovno... Bude to rovno přirozenému logaritmu... Pardon, 9 lomeno 16 plus přirozený logaritmus 2. Plus přirozený logaritmus 2. A máme hotovo.
video