Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (18/19) · 6:14

Určitý integrál funkce definované po částech Jak již pravděpodobně víme, funkce nemusí být spojité. Ukážeme si proto, jak se integruje funkce po částech.

Navazuje na Derivace funkce.
Máme tady funkci f(x) a ta je definovaná po částech, pro x menší než 0 se f(x) rovná x plus 1, pro x větší nebo rovno 0 se f(x) rovná kosinus πx. A my chceme spočítat určitý integrál od -1 do 1 f(x) dx. Možná se rovnou zeptáte, kterou z verzí f(x) budeme integrovat, protože od -1 do 0 mluvíme o x plus 1, ale od 0 do 1 mluvíme o kosinu πx. A pokud vás přesně tohle napadlo, přemýšlíte správně. Můžeme to trochu zjednodušit tak, že rozdělíme tento určitý integrál. Toto bude rovno určitému integrálu od -1 do 0 f(x) dx plus integrál od 0 do 1 f(x) dx. A proč bylo užitečné to takto rozdělit, rozdělit integrál od -1 do 1 na dva intervaly od -1 do 0 a od 0 do -1? Udělal jsem to proto, že v bodě x rovno 0 se to mění, f(x) se mění z x plus 1 na kosinus πx. Když se tedy podíváme na interval od -1 do 0, f(x) je x plus 1. Takže tady se f(x) rovná x plus 1. A když jdeme od 0 do 1, f(x) je kosinus πx. Takže kosinus πx. Teď musíme oba integrály vyčíslit zvlášť a pak je sečíst. Spočítejme tedy určitý integrál od -1 do 0 (x plus 1) dx. Tak tedy, integrál x plus 1 je... Integrál x je x² lomeno 2. Jen zvyšuji exponent a pak dělím stejnou hodnotou. A pak plus x. A tady vlastně dělám to stejné. Když toto je x⁰, bude to x¹ lomeno 1, což je prostě x. A vyčíslím to v 0 a od toho to odečtu vyčíslené v 1. Pardon, vyčíslené v -1. A toto bude rovno... Když to vyčíslím v 0... Udělám to jinou barvou. Když to vyčíslím v 0, bude to 0² lomeno 2, což je... Zapíšu to. 0² lomeno 2 plus 0. To celé se bude rovnat prostě 0. Minus to celé vyčíslené v -1. Takže minus -1² lomeno 2 plus -1. -1² je prostě 1. Takže to je 1/2 plus -1. 1/2 plus -1, neboli 1/2 minus 1, to je -1/2. Takže celé toto je rovno -1/2. Ale my odečítáme -1/2, 0 minus -1/2, to bude rovno +1/2. Takže toto bude rovno +1/2. Tato první část je tedy +1/2. A teď spočítejme integrál od 0 do 1 kosinu π... Nepotřebuji tu první závorku. Kosinu πx dx. Čemu je to rovno? Když hledáme integrál kosinu x, je to jednoduché. Víme, že derivace podle x sinu x se rovná kosinus x. Ale to my tady nemáme, my máme kosinus πx. Na to máme metodu, říkáme jí substituční metoda. Můžeme říct, že "u" se rovná πx. Pokud nevíte, jak na to, stále se to dá nějak vymyslet. Mohli bychom si třeba říct, že by tady nějak mohl figurovat sinus πx. Derivace podle x sinu πx by byla co? Použijeme derivaci složené funkce. Bude to derivace vnější funkce s vnitřní funkcí jako argumentem, neboli derivace sinu s argumentem πx, což nám dá kosinus πx, a pak krát derivace vnitřní funkce podle x. Takže to by bylo krát π. Nebo můžeme říct, že derivace sinu πx je π kosinus πx. Skoro už to máme, ale tady potřebujeme π. Co kdybychom tady přidali π, ale abychom nezměnili hodnotu výrazu, vynásobíme to ještě 1 lomeno π? Když to vydělíme a vynásobíme stejným číslem, nezmění se hodnota výrazu. 1 lomeno π krát π je rovno 1. Ale je to užitečné. Je to užitečné, protože teď víme, že π kosinus πx je derivací sinu πx. Takže toto celé bude rovno... Toto je rovno 1... Jen tady... 1 lomeno π. Je to rovno 1 lomeno π krát... Teď to vyčíslíme. Integrál tohoto, jak jsme už řekli, je sinus πx, a vyčíslíme to pro 1 a 0. Takže toto bude rovno 1 lomeno π... 1 lomeno π, ne π. Moje ruká neposlouchá, co říkám. 1 lomeno π krát sinus π minus sinus π krát 0, což je 0. Sinus π, to je 0. Sinus 0 je 0. Takže máme 1 lomeno π krát 0 minus 0. Takže toto celé se bude rovnat 0. První část tedy byla 1/2, tato druhá část je rovna 0, takže celý určitý integrál bude roven 1/2 plus 0, což je rovno 1/2. Takže to vše dohromady je rovno 1/2.
video