Primitivní funkce a integrály
Přihlásit se
Primitivní funkce a integrály (19/19) · 6:53

Určitý integrál funkce definované po částech 2 Na závěr náš čeká určitý integrál z absolutní hodnoty. Tu si lze rozložit na dvě části a každou z nich integrovat zvlášť.

Navazuje na Derivace funkce.
Máme funkci f(x) rovnu absolutní hodnotě z x plus 2. A my chceme spočítat určitý integrál od -4 do 0 f(x) dx. A jako obvykle si zastavte video a zjistěte, jestli to zvládnete sami. Ze začátku se možná trochu zarazíte, protože jak zintegrovat funkci s absolutní hodnotou? Řešením je, nebo tedy jednou možností je, že přepíšeme f(x) bez absolutní hodnoty, a to můžeme udělat tak, že ji nadefinujeme po částech. A uděláme to tak, že se zamyslíme nad intervaly, ve kterých cokoli, co dáme do absolutní hodnoty, dá kladnou hodnotu, a nad intervaly, kde všechno, co bude v absolutní hodnotě, bude záporné. A ten bod, ve kterém se to bude měnit, je ten, kdy x plus 2 je rovno 0, neboli když x je rovno -2. Vezměme tedy intervaly x je menší než -2 a x je větší nebo rovno -2. Tady by mohlo být menší nebo rovno a tady by pak bylo větší než, v obou případech by to vyhovovalo této absolutní hodnotě, je to spojitá funkce. Pojďme na ten lehčí případ. Když je x větší nebo rovno -2, x plus 2 bude kladné, neboli bude větší nebo rovno 0, takže absolutní hodnota bude prostě x plus 2. Bude to tedy x plus 2 pro x větší nebo rovno -2. A co když je x menší než -2? Když x je menší než -2, x plus 2 bude záporné, a když vezmeme absolutní hodnotu záporného čísla, dostaneme jeho opačnou hodnotu. Takže toto bude -(x plus 2). A abyste to opravdu pochopili, protože toto je upřímně ta nejtěžší část a je to spíš algebra než diferenciální počet, nakresleme si tu absolutní funkci, aby to bylo jasné. Takže toto je moje osa x, toto je moje osa y a řekněme, že tady je -2. A když je to menší než -2, když x je menší než -2, můj graf bude vypadat takto. Bude vypadat nějak... Bude vypadat nějak takto. A když je to větší než -2... Udělám to jinou barvou. Když je to větší než -2, bude to vypadat takto. Bude to vypadat takto. Všimněte si, že to modré je graf x plus 2, můžeme říct, že je to graf y rovná se x plus 2. A to fialové tady, to je graf -x minus 2. Má klesající sklon a protíná osu y v -2. Takže to dává smysl. Je několik způsobů, jak to zdůvodnit. Když to máme rozdělené, můžeme rozdělit ten integrál. Můžeme říct, že toto napsané tady je rovno integrálu od -4 do 2, pardon od -4 do -2 f(x), což v tomto případě bude -x minus 2. Jen jsem tady roznásobil závorku tím minusem. dx a pak plus určitý integrál od -2 do 0 x plus 2 dx. A jen abychom opravdu věděli, co tady děláme, když tady je -4 a tady je 0, ten první integrál je tato oblast tady. To je oblast pod křivkou -x minus 2, pod tou křivkou nebo tedy přímkou, a nad osou x. A ten druhý integrál je tato oblast mezi x plus 2 a osou x od -2 do 0. Pojďme si je tedy vyčíslit, a to bychom byli schopní udělat i pomocí obsahu trojúhelníků, ale udělejme to algebraicky. Takže jaký je integrál -x? To je -x² lomeno 2, a pak máme -2, ten integrál bude -2x, a vyčíslíme to v -2 a v -4. Takže kolik to bude? -2², bude to zápor z -2². Takže -4 lomeno 2 minus 2 krát -2. Takže plus 4. Takže to je vyčíslené v -2. A teď minus integrál vyčíslený v -4. Takže minus -4², to je 16, lomeno 2, minus 2 krát -4. Takže plus 8. Takže kolik nám to dává? Toto je -2, toto je -8, takže ten druhý člen bude roven 0. Udělal jsem to správně? Ano, 16 lomeno 2, je to záporné a to kladné. Takže toto bude 0. A toto je -2 plus 4, což bude rovno 2. Takže toto fialové je rovno 2. A to, co je modře, ten integrál je x² lomeno 2 plus 2x, vyčíslíme to v 0 a -2. Když to vyčíslíme v 0, bude to 0, a od toho odečteme -2² lomeno 2, to je +4 lomeno 2, to je +2. A pak plus 2 krát -2, takže -4. Takže toto bude -(-2), tedy +2. Takže 2 plus 2. A to dává smysl. To fialové tady je 2 a toto tady je 2, je to symetrické. Je to symetrické. A když to vše sečteme, dostaneme, že náš integrál je roven 4. A jenom pro kontrolu bychom mohli říct, že výška tady je 2, šířka, základna je 2. 2 krát 2 krát 1/2 je opravdu rovno 2. To stejné tady. Takže to je geometricky ukázáno, proč je tato oblast rovna 2, tato oblast rovna 2 a když je sečteme, dostaneme +4.
video