Základní metody integrace
Přihlásit se
Základní metody integrace (2/17) · 3:52

Integrace per partes - příklad Je čas na procvičení nové metody integrace per partes. Vypočítáme si proto integrál z "x krát kosinus x".

Navazuje na Primitivní funkce a integrály.
V minulém videu jsem tvrdil, že se nám tento vzorec bude hodit při integrování určitých funkcí. Pojďme se podívat, jestli je to opravdu tak. Řekněme, že chci spočítat integrál x krát kosinus x dx. Když se podíváme na tento vzorec, chceme přiřadit část tohoto k f(x) a jinou část k g'(x). Otázkou je, jestli přiřadím f(x) k x a g'(x) ke kosinu x, nebo naopak? Bude f(x) kosinus x a g'(x) bude x? Přijdeme na to tak, že se podíváme na zbytek vzorce a uvědomíme si, že musíme potom spočítat toto. A tady máme derivaci f(x) krát g(x). Takže chceme f(x) určit tak, aby derivace f(x) byla jednodušší než f(x). A určit g(x) tak, abychom po jeho zintegrování nedostali nic složitějšího. V tomto případě, když určíme, že f(x) je rovno x, f'(x) je rozhodně jednodušší, f'(x) je rovno 1. Když g(x) bude kosinus x, když jej zintegrujeme, dostaneme sinus x, což není o nic složitější. Kdybychom to udělali naopak, kdyby f(x) bylo kosinus x, pak jej tady musíme zderivovat. To není až tak složité. Ale kdyby pak g'(x) bylo rovno x a museli bychom jej zintegrovat, dostaneme x² lomeno 2, to je složitější. Takže si to tady ujasníme. f(x) bude rovno x. A to znamená, že derivace f bude rovna 1. Přiřadíme... Napíšu to tady. g'(x) bude rovno kosinus x, což znamená, že g(x) je rovno sinus x, integrál kosinu x. Teď se podívejme, zda jsme schopni za těchto předpokladů použít tento vzorec. Takže toto všechno... Pravá strana je f(x) krát g(x). Takže f(x) je x. g(x) je sinus x. A pak od toho odečteme integrál f'(x), což je 1. Krát g(x), krát sinus x dx. Teď jsme si to hodně zjednodušili. Místo hledání integrálu x kosinus x teď stačí najít integrál sinu x. A my víme, že integrál sinu x dx je roven -kosinus x. A teď už samozřejmě můžeme přidat plus c, teď když už máme hotovy všechny integrály. Takže toto celé bude rovno x sinus x, x krát sinus x, minus integrál tohoto, což je -kosinus x. Minus -kosinus x. A pak můžeme přidat plus c sem na konec. Je jedno, jestli odečítáme nebo přičítáme c. Je to nějaká libovolná konstanta, která může být i záporná. Takže toto celé bude rovno... Fanfáry prosím. Bude to x krát sinus x, odečítáme záporné, to dává kladné, plus kosinus x plus c. A máme hotovo. Zintegrovali jsme něco, co jsme předtím zintegrovat neuměli. To bylo hodně zajímavé.
video