Základní metody integrace
Přihlásit se
Základní metody integrace (4/17) · 6:46

Integrace per partes - příklad 2 Procvičení integrace per partes na dalším příkladu, nyní na součinu kvadratické (x²) a exponenciální funkce (eⁿ).

Navazuje na Primitivní funkce a integrály.
Pojďme zjistit, jestli umíme zintegrovat x² krát eˣ dx. Důležité je umět rozeznat, kdy má cenu zkoušet integraci per partes. Teď je to docela jasné, protože toto video je právě o integraci per partes. Ale vodítkem, že by se dala použít integrace per partes, může být to, že máme funkci, která je součinem dvou funkcí, v tomto případě x² a eˣ. A integrace per partes je užitečná, když jedna z těch funkcí po derivaci bude jednodušší. A když zintegruju tu druhou, nedostanu nic složitějšího. Takže v tomto případě, kdybych zderivoval x², zjednoduší se to. Bude to 2x. A když zintegruju eˣ, nedostanu nic složitějšího. Řekněme tedy, že f(x) je rovno x². To má být ta funkce, která je po zderivování jednodušší. Protože budu muset zderivovat f(x) v této části vzorce integrace per partes. A g'(x) tedy bude rovno eˣ. Protože později jej budu muset zintegrovat a integrál eˣ je zase eˣ. Takže si to zapišme. Říkáme, že f(x)… Napíšu to sem. f(x) je rovno x² a f'(x) je tedy rovno 2x. A konstanty mě teď nezajímají. Konstanty přidáme na konci, abychom zajistili, že náš integrál bude v nejobecnějším tvaru. A g'(x) je rovno eˣ, což znamená, že jeho integrál, g(x), je roven zase eˣ. A teď už můžeme použít tuto pravou stranu. Takže toto celé bude rovno f(x), což je x²… Napíšu to přímo pod to. x² krát g(x), což je eˣ, minus… Napíšu to žlutě. Chci, aby ty barvy odpovídaly. Minus integrál f'(x), f'(x) je 2x, krát g(x), g(x) je eˣ, dx. Asi si říkáte, Sale, máme tady další integrál, další neurčitý integrál tady. Jak to vyřešíme? A možná už jste uhodli, že zase použijeme integraci per partes. A děláme pokroky. Toto je jednodušší výraz než tento. Podařilo se nám snížit exponent u x². Teď už je to jen 2x. A tohle můžeme ještě trochu zjednodušit. 2 je jen konstanta, kterou násobíme funkci, můžeme ji tedy vytknout před znaménko integrálu. Tak to tak přepišme. Toto můžeme udělat jen s konstantou, kterou násobíme funkci. Dáme tu 2 sem ven. A teď nás zajímá integrál… Napíšu to sem. Integrál xeˣ dx. A to je další příklad integrace per partes. Takže použijeme opět vzorec integrace per partes. Co z tohoto se po zderivování zjednoduší? x se zjednoduší, když ho zderivuju. Takže pro integraci per partes řekněme, že f(x) je rovno x. A pak máme opět g'(x) rovno eˣ. V tomto případě je tedy f(x) rovno x. f'(x) je rovno 1. g'(x) je rovno eˣ. g(x) je rovno integrálu tohoto, je to rovno eˣ. Použijme tedy opět integraci per partes. Toto bude rovno f(x) krát g(x). f(x) je teď x. g(x) je eˣ. Minus integrál f'(x), což je 1, krát g(x), což je eˣ. Je to prostě 1 krát eˣ dx. A pamatujte, teď řeším… Možná už jste se ztratili. Řeším teď tento integrál. Tento integrál je tento tady. Když jej vyřešíme, můžeme jej dosadit zpět do původního výrazu. Teď zřejmě oceníte integraci per partes. Na co se toto tady zjednoduší? Jaký je integrál 1 krát eˣ dx? Neboli jaký je integrál 1 krát eˣ? Je to integrál eˣ, což je prostě eˣ. Toto se tedy zjednoduší na x krát eˣ minus integrál eˣ, což je zase eˣ, takže minus eˣ. A pak to můžeme vzít a dosadit zpátky. Toto je integrál tohoto, takže to můžeme dosadit sem a spočítat integrál našeho původního výrazu. Takže integrál našeho původního výrazu… Už jsme opravdu blízko. Bude roven... Použiju jiné barvy, ať se v tom vyznáme. Bude to rovno x² krát eˣ minus 2 krát celé toto. Takže minus 2 krát ten integrál, který jsme tady spočítali. Minus 2 krát xeˣ minus eˣ. A pokud chceme, teď můžeme přidat plus c. A můžeme to samozřejmě zjednodušit. Toto je rovno x²… Rád používám stejné barvy. Toto je rovno x²eˣ. A teď roznásobíme to -2. Dostaneme -2xeˣ plus 2eˣ a pak nakonec plus c. Máme hotovo. Našli jsme integrál výrazu, který vypadal hodně děsivě, a to tak, že jsme dvakrát použili integraci per partes.
video