Základní metody integrace
Přihlásit se
Základní metody integrace (10/17) · 8:40

Metoda substituce - příklad 5 Další primitivní funkce k funkci s přirozeným logaritmem v mocniteli. Řešeno substitucí, jako předchozí, velmi podobný příklad.

Navazuje na Primitivní funkce a integrály.
Na facebookové stránce Khan Academy Bud Denny přidal tento příklad a požádal o řešení. Vypadá to jako obecný typ příkladů. Neurčitý integrál '2 na ln(x)' lomeno x, krát dx. Abhi Khanna přidal řešení, správné řešení, ale myslím, že bude užitečné udělat k tomu krátké video. Uvidíte-li takový integrál, všimnete si logaritmu v mocniteli, kde začnete? Nejprve by vás mělo napadnout si to přepsat do tvaru: (1 lomeno x) krát '2 na ln(x)' krát dx. Máme zde tedy takový výraz, také tu je i jeho derivace, že? Víme, že derivace ln(x) podle 'x' je (1 lomeno x). Máme nějaký výraz a jeho derivaci, mělo by nás napadnout použít substituci. Někdy je možné to vyřešit z hlavy, tento příklad ale není tak jednoduchý. Proveďme substituci. Proveďme substituci za 'u'. Pojďme na to. Označme tedy 'u'… Nemusí to být zrovna písmeno 'u', může to být libovolné písmeno. Položme 'u' rovno ln(x), 'du podle dx', derivace 'u' podle 'x', bude rovna (1 lomeno x). 'du' tedy bude (1 lomeno x) dx. Proveďme substituci. Bude to rovno integrálu z '2 na u' krát (1 lomeno x) dx. Co je (1 lomeno x) dx? To je 'du'. Tento člen je tedy 'du'. Udělám to jinou barvou. (1 lomeno x) dx je rovno 'du'. Stále to není jednoduchý integrál, ačkoliv se to dosti zjednodušilo. Jak to vyřešit? Mám-li proměnnou, podle které integruji, v mocniteli, nemám jednoduchá pravidla pro úpravu. Jediné co zatím známe, kdy máme proměnnou v mocniteli, je případ 'e na x'. Víme, že integrál 'e na x' dx je rovno 'e na x' plus C. Pokud by se mi podařilo to převést do tvaru podobného 'e na x', možná by byl integrál snadnější k výpočtu. Podívejme se. Jak to můžeme upravit? Čemu je rovno 2? 2 je rovno 'e na ln(2)', že? ln(2) je takové číslo, kterým mocníte 'e', abyste dostali číslo 2. Umocníte-li 'e' na toto číslo, určitě dostanete 2. To je vlastnost přirozeného logaritmu. Umocníte-li 'e' na ln(2), dostanete 2. Přepišme to tedy tímto způsobem. Není to vlastně substituce. Je to jen jiný zápis čísla 2. Toto tedy bude rovno 'e na ln(2)', to celé na 'u', krát 'du'. Čemu se rovná toto? Mám-li něco umocněno a to celé znovu umocněno, je to jako kdybych základ umocnil na součin mocnitelů. Změním barvy. To je tedy integrál z 'e na u… Napíšu to takto. 'e na ln(2) krát u' Násobím tyto mocnitele. Něco umocním, to celé znovu umocním, je to jako umocnit to na součin mocnitelů. Toto je vlastně jen číslo. Mohla by to být nějaká konstanta. Mohli bychom to spočítat na kalkulačce. Můžeme to označit jako 'a'. Obecně jde však o přímočarý integrál, když to máme v tomto tvaru. Primitivní funkce k 'e na a krát u' du je (1 lomeno a) krát 'e na a krát u'. Toto vychází z tohoto nahoře a řetězového pravidla. Derivujeme vnitřní funkci, z toho dostaneme 'a', to vynásobíme s (1 lomeno a), to se vykrátí. Zbyde nám jen 'e na a krát u'. To vychází. Primitivní funkce bude tedy (1 lomeno a), tedy (1 lomeno ln(2)), krát 'e na… Něco teď udělám. Toto je nějaké číslo krát 'u', přepíšu to tedy na 'u' krát číslo. To dělám proto, abychom si usnadnili následnou úpravu. Je to tedy 'e na u krát ln(2)', že? Jen jsem změnil pořadí. Mohl bych to napsat jako 'e na ln(2) krát u'. 'a krát u' je stejné jako 'u krát a'. …plus C. Toto je náš výsledek, ale nejdříve musíme dosadit za 'u', abychom měli výsledek opět v proměnné 'x'. Než to udělám, pokusme se to trochu upravit. Z vlastností logaritmu, 'a' krát ln(b)'. Víme, že je to ln('b na a'). Udělám tu čáru. Toto se stane mocnitelem. 'u' krát ln(2) je tedy rovno ln('2 na u'). Přepišme to tedy jako (1 lomeno ln(2)) krát 'e na… Z vlastností logaritmu je to ln('2 na u'). Samozřejmě ještě plus C. Co je 'e na ln('2 na u')'? ln('2 na u') je číslo, kterým mocníte 'e', abyste získali '2 na u'. Podle definice. Umocníme-li tedy 'e' na to číslo, co dostaneme? Dostaneme '2 na u'. Bude to tedy (1 lomeno ln(2)) krát '2 na u'. Napíšu to obecně sem nahoru, asi je to zbytečně pořád dokola. Obecně mohu každé číslo 'a' napsat jako 'e na ln(a)'. Je to číslo, kterým mocníte 'e', abyste dostali 'a'. 'e na ln('2 na u')' je '2 na u'. Plus C, samozřejmě. Teď můžeme dosadit za 'u'. Čemu je 'u' rovno? 'u' jsem definovali jako ln(x). Dosaďme tedy. Výsledek příkladu… Napíšu to sem, je to příjemné na pohled. Vypadá to jako složitý příklad. Integrál '2 na ln(x)' lomeno 'x' dx je… Za 'u' jsme dosadili ln(x), (1 lomeno ln(2)) krát '2 na ln(x)' plus C. A jsme hotovi. Není to ve jmenovateli, možná jsem to napsal divně. A jsme hotovi! Byl to pěkný příklad, děkuji proto za příspěvek.
video