Základní metody integrace
Přihlásit se
Základní metody integrace (11/17) · 5:01

Metoda substituce - příklad 6 Použití substituce k integrování součinu dvojčlenů, přičemž jeden z nich je umocněný na pátou.

Navazuje na Primitivní funkce a integrály.
Čelíme neurčitému integrálu (x plus 3) krát '(x minus 1) na pátou' dx. Mohli bychom to vyřešit roznásobením. Využili bychom binomické věty. To bychom vynásobili (x plus 3) a dostali bychom nějaký polynom. Takto bychom mohli postupovat. Nebo bychom provedli nějakou substituci, která by tento výraz zjednodušila. Abychom dostali výraz, jehož integrace je snazší. Toto nebude klasická substituce, kde bychom hledali k výrazu jeho derivaci. Je to typ substituce, která nám výraz zjednoduší. Zkusme to tedy. Máme tu (x minus 1) na pátou. To by bylo otravné roznásobovat. Bylo by fajn tu mít jen 'u na pátou'. Položme tedy toto rovno 'u'. 'u' se rovná (x minus 1). V tomto případě se 'du' rovná 'dx'. 'du podle dx' je rovno 1. Derivace x je 1, derivace -1 je 0. To jsou ekvivalentní tvrzení. Uděláme-li toto, jak nám ten výraz vyjde? Bude to rovno… Máme tu (x plus 3), to není ani 'u' ani 'du'. Popřemýšlejme tedy, co s tímto. Je-li 'u' rovno (x minus 1), přičteme 1 k oběma stranám rovnice. Pak je (u plus 1) rovno 'x'. Za 'x' tedy dosadíme (u plus 1). Udělejme to tedy. V podstatně dosazujeme za 'x'. 'x' je rovno (u plus 1). Zkouším, co se dá dělat, abych ten výraz zjednodušil. 'x' je (u plus 1), pak tu máme plus 3, krát '(x minus 1) na pátou'. (x minus 1) je 'u', to je to zjednodušení, které jsme chtěli. …tedy krát 'u na pátou'. 'dx' je to samé jako 'du'. Posunulo nás to někam? Můžeme to upravit tak, abychom snadno spočítali integrál? Zdá se, že ano! Podívejme se. Můžeme to přepsat. Tento výraz je (u plus 4). …krát 'u na pátou', krát du. Jak to tedy vše zjednodušilo? '(x minus 1) na pátou' by bylo složité rozložit. 'u na pátou' je ale jednoduché. (x plus 3) jsme převedli na (u plus 4), což je stále přímočarý výraz. Teď lze roznásobit 'u na pátou'. Dostaneme 'u na šestou' plus 4 krát 'u na pátou'. To už lze snadno zintegrovat. Teď se můžete ptát: „Sale, jak jsi věděl, že 'u' bude rovno tomuto?“ Co se týče integrování, častokrát musíte použít pokus-omyl. Integrace je tak trochu umění. V tomto případě to bylo kvůli tomu, že '(x minus 1) na pátou' je složité. 'u na pátou' to může udělat snazší. To nakonec také fungovalo. Mohli byste zkusit 'u' rovno (x plus 3), ale to by věci nezjednodušilo tak hezky. Dokončeme tedy tento příklad. Toto bude primitivní funkce k 'u na šestou'. To je 'u na sedmou' lomeno 7. Plus primitivní funkce k 'u na pátou', což je 'u na šestou' lomeno 6. Ještě to násobíme 4, takže 4 krát 'u na šestou' lomeno 6. Nakonec plus C. (4 lomeno 6) je rovno (2 lomeno 3), celé to tedy můžeme přepsat. 'u na sedmou' lomeno 7 plus (2 lomeno 3) krát 'u na šestou' plus C. Teď jen dosadíme za 'u'. 'u' je rovno (x minus 1). '(x minus 1) na sedmou' lomeno 7 plus (2 lomeno 3) krát '(x minus 1) na šestou', plus C. A jsme hotovi! Byli jsme schopni spočíst tento složitý integrál. Mohl by být složitý, pokud bychom to měli roznásobit. Pomocí substituce jsme úspěšně našli primitivní funkci.
video