Základní metody integrace
Přihlásit se
Základní metody integrace (17/17) · 4:33

Úprava funkce před integrováním 3 Další názorný příklad, který ukazuje, jak se i při integrování vyplatí znát trigonometrické vztahy. Úprava pomocí těchto vztahů dokáže integraci značně zjednodušit.

Navazuje na Primitivní funkce a integrály.
Zkusme vyřešit neurčitý integrál z 'sin(x) na druhou' krát 'cos(x) na třetí'. Jako vždy, pozastavte video a zkuste to sami. Dobrá. Hned jste si asi řekli: „Kdyby to byl sin(x) a nebyl na druhou, je to derivace cos(x), mohl bych použít substituci.“ „Podobně, pokud by to byl cos(x) a nebyl na třetí, použil bych substituci.“ „Položil bych 'u' rovno sin(x).“ „Ale to nemohu.“ Obecný postup je, že máme-li něco v liché mocnině, cos(x) je v liché mocnině, snažíme se výraz upravit tak, aby bylo možné substituci použít. Ten způsob je, že oddělíte jeden z cos(x) a z 'cos(x) na druhou', pomocí trigonometrické identity, vyjádříte jiný výraz. Co tím myslím? Přepíšu to. Bude to 'sin(x) na druhou' krát… Napíšu to takto. …krát 'cos(x) na druhou' krát cos(x). Jen jsem rozepsal tuto třetí mocninu na součin první a druhé mocniny. To může být přepsáno na 'sin(x) na druhou'… Využiji „trigonometrické jedničky“, abych to převedl na (1 minus 'sin(x) na druhou'). To bude tedy rovno (1 minus 'sin(x) na druhou'). …krát cos(x) krát dx. Teď roznásobím 'sin(x) na druhou' krát (1 minus 'sin(x) na druhou') a dostanu… Udělám to jinou barvou. Zbyde mi neurčitý integrál z… 'sin(x) na druhou' krát 1 je 'sin(x) na druhou'. 'sin(x) na druhou' krát minus 'sin(x) na druhou', to bude minus 'sin(x) na čtvrtou'. To celé krát cos(x) krát dx. Teď to začíná být zajímavé. Mám 'sin(x) na druhou' minus 'sin(x) na čtvrtou'. Mám tu i derivaci sinu. Mám cos(x), to je celý důvod, proč to takto upravuji. Substituce teď funguje dobře. Řekneme-li, že… Udělám to jinou barvou, fialovou. Řekneme-li, že 'u' je rovno sin(x), 'du' bude rovno cos(x) dx. To je dobré, neboť zde mám 'du'. Toto bude 'u na druhou' minus 'u na čtvrtou'. Víme, jak k tomu nalézt primitivní funkci. Přepišme to. Místo 'sin(x) na druhou'… 'u' je sin(x), bude to tedy ('u na druhou' minus 'u na čtvrtou') du. To je přímočaré. Toto bude 'u na třetí' lomeno 3 minus 'u na pátou' lomeno 5 plus C. Dosadíme za 'u'. Místo 'u' dosadíme sin(x). 'sin(x) na třetí' lomeno 3 minus 'sin(x) na pátou' lomeno 5. Napíšu tu 5 lépe. …'sin(x) na pátou' lomeno 5 plus C. A jsme hotovi!
video