Aplikace integrálů
Přihlásit se
Aplikace integrálů (4/6) · 7:27

Výpočet plochy pod křivkou - aplikovaná úloha 2 Ukážeme si, že plocha pod křivkou rychlosti není nic jiného než celková ujetá dráha.

Navazuje na Základní metody integrace.
Řekněme, že něco cestuje konstantní rychlostí 5 metrů za sekundu. To je rychlost v 1 rozměru, když by byla záporná, pohyboval by se objekt doleva, pokud by byla kladná, tak doprava. A řekněme, že nás zajímá, jaká je naše změna ve vzdálenosti, Delta reprezentuje změnu, za 4 sekundy. A řeknu, že se bavíme o rozmezí času t se rovná 0 až t se rovná 4. Je to naše změna v čase. Toto je interval 4 sekund, který nás zajímá. První způsob, jak o tom přemýšlet, je, že podle definice je rychlost poměr změny určité veličiny, v tomto případě je to vzdálenost, lomeno změna jiné veličiny. V tomto případě myslíme čas. Jiný způsob řešení je, že vynásobíme obě strany změnou v čase. Změna vzdálenosti je pak rovna rychlosti krát změna času. Můžete si vzpomenout z předchozích videí, že vzdálenost se rovná rychlost krát čas. A to vychází z definice rychlosti. Je to poměr změny jedné veličiny vůči změně jiné veličiny. A pokud toto použijete… Pokud si řeknete: fajn, moje rychlost je konstantních 5 metrů za sekundu. Moje ‚Δt‛ jsou 4 sekundy. Takže krát 4 sekundy. A to vám dá 20. Udělám to stejnou barvou, jako jsem měl pro změnu vzdálenosti. Dá vám to 20. Sekundy se vyruší se sekundami, takže 20 metrů. Takže moje celková změna vzdálenosti za 4 sekundy bude 20 metrů. Nic nového pod sluncem. Teď ukážu spojitost s plochou pod křivkou funkce rychlosti v tomto časovém období. Nakreslíme graf. Toto je osa rychlosti. Tohle je osa času. Toto bude v sekundách. Toto bude v metrech za sekundu. 1, 2, 3, 4, 5. To bude stačit. A pak udělám 1, 2, 3, 4, 5. Naše rychlost, alespoň v tomto příkladě, je konstantních 5 m/s. To je funkce ‚r(t)‛ zadaná pro tento příklad. Co jsme zde udělali? Vynásobili jsme naši změnu v čase naší konstantní rychlostí. Vynásobili jsme naši změnu v čase, čas je v rozsahu 0 až 4 sekundy. To je tato délka. Pokud ji vyznačíme na této ose. A vynásobili jsme ji naší konstantní rychlostí. Vynásobili jsme ji tímto. Ale když vynásobím tento základ krát výška, co dostanu? Dostanu plochu pod touto funkcí rychlosti. A ta plocha bude 20. A pokud přejdeme k jednotkám… Určitě jste zvyklí, že plocha jsou jednotky čtvereční, protože je to obvykle metr krát metr nebo míle krát míle či palce krát palce. Byly by to palce čtvereční, metry čtvereční nebo míle čtvereční. Ale zde, vzhledem k jednotkám na osách, to budou metry za sekundu krát sekundy, což vám dá metry. Je zde důležitější než jednotky, že plocha je 20. Alespoň pro tento jednoduchý příklad to vypadá, že plocha pod křivkou rychlosti je rovna celkové změně za tento časový úsek, kde je rychlost závislá na čase. Ale pojďme to trochu otestovat. Pojďme si pro to vytvořit intuici. Řekněme, že máme jinou funkci rychlosti. Řekněme, že… Udělám to odlišně. Řekněme, že místo toho budeme mít funkci rychlosti… Použiji znovu žlutou. Řekněme, že máme funkci rychlosti, která je… Udělám to trochu zajímavější. Řekněme, že je to 1 m/s, když je čas větší nebo roven 0 a menší nebo roven 2 sekundám. Je zřejmé, že se jedná o sekundy, když mluvíme o čase. A jsou to 2 metry za sekundu, když ‚t‛ je větší než 2. Jak to bude vypadat? A zkuste si to nakreslit sami. A chceme vědět, jaká bude celková změna vzdálenosti za 5 sekund? Naše ‚Δt‛ nebudou 4 sekundy, ale 5 sekund. Zakresleme to do grafu. Toto je 1 metr za sekundu. Toto jsou 2 metry za sekundu. Je to v metrech za sekundu. Toto je osa rychlosti. A toto bude osa času. Je zřejmé, že nemají stejné měřítko. 3, 4, 5. A jak vypadá tato funkce rychlosti? Moje rychlost je 1 m/s mezi 0 až 2 sekundami. Včetně 2. sekundu. A najednou rychlost skočí, což není reálné. Nic takto skokově nemůže zrychlit. Potřebovali byste nekonečnou sílu nebo nekonečně malou hmotnost. Soudím, že tu jsou určité věci, o kterých můžeme uvažovat. Nechci to udělat příliš složité, ale je to nereálné. Není běžné, aby něco získalo takové okamžité zvýšení rychlosti jako toto. Ale nechme to tak. Takže po 2 sekundách se dostaneme na konstantní rychlost 2 m/s. A jaká je celková změna vzdálenosti za prvních 5 sekund? Tady se zajímáme jen o prvních 5 sekund. Můžeme si příklad rozdělit. Můžeme říct, že za první 2 sekundy… Změna v čase jsou 2 sekundy. Krát naše konstantní rychlost za tyto 2 sekundy. Takže to budou 2 sekundy krát 1 m/s. A to nám dá 2 metry. Takže toto bude… Vybarvím to oranžovou. Budou to 2 metry. A pak se podíváme na další část. Změna času jsou zde 3 sekundy. A to vynásobíme naší konstantou 2 metry za sekundu. To nám dá plochu 6. A pokud se zaměříme na jednotky, tak v obou případech násobíme sekundy krát metry za sekundu, což nám dá metry. Takže to bude 2 plus 6 metrů, čili 8 metrů. Doufám, že jste získali představu, že plocha pod křivkou, nebo funkcí rychlosti, vám dá celkovou změnu. Jakkoli by rychlost byla definována. V tomto případě je to vzdálenost za jednotku času. Pokud vezmete plochu pod funkcí rychlosti… Nějakou funkci rychlosti za určitý časový úsek, tak tato plocha bude naše celková změna vzdálenosti.
video