Aplikace integrálů
Přihlásit se
Aplikace integrálů (1/6) · 4:09

Plocha mezi dvěma křivkami Jaký je postup, pokud máme zadané dvě křivky pomocí dvou předpisů funkcí a naším úkolem by bylo vypočítat plochu mezi nimi?

Navazuje na Základní metody integrace.
V tomto videu chci najít velikost plochy oblasti v prvním kvadrantu, která je pod grafem funkce y se rovná odmocnině z x a zároveň nad grafem y se rovná x na druhou. Takže se bavíme o této oblasti zde. A známe oba koncové body. Nalezneme je, když položíme jednu rovnici rovnu druhé. Tedy x na druhou je rovno odmocnině z x v bodech ,x' je rovno 0 a ‚x‘ je rovno 1. Jak nad tím můžeme přemýšlet? Jeden způsob, jak nad tím uvažovat… …jaká je plocha mezi y rovno odmocnině z x a osou x? To by bylo… A půjdeme z 0 do 1, takže je to plocha pod křivkou odmocniny z x od 0 do 1 dx. To doslova označuje celou plochu zde, až k tomuto krajnímu bodu. A od tohoto odečteme tuto oblast. Plochu pod funkcí y je rovno x na druhou, ale nad osou x. Takže od tohoto odečteme plochu od 0 do 1… To je interval, který nás zajímá. Plocha pod (x na druhou) dx. A toto by bylo kompletně legitimní. A možná řeknete: „Počkat, mám stejné hranice integrace a zde mám dx. Nemohl bych také napsat určitý integrál od 0 do 1 dx z ((odmocnina z x) minus (x na druhou))?" A pokud se takto zeptáte, řeknu že jistě. A to je jiný způsob pohledu. Zde máte plochu. A místo... Vnímáme-li ,dx' jako šířku každého obdélníku, tak výška obdélníku není jen funkce mezi osou x a funkcí samotnou. Výška je rozdíl mezi oběma funkcemi. Takže v tomto případě by toto byla šířka obdelníku a výška by byla rozdíl mezi těmito dvěma funkcemi. A pak byste měli jiný obdélník zde. Všechny mají šířku dx a výška je rozdíl mezi funkcemi. A pak se budete přibližovat k limitě, budou tam velmi tenké obdélníky, které se budou zmenšovat, takže jich budete mít čím dál více, čímž vlastně aproximujete plochu. Takže to je jeden způsob, jak se na to dívat. Nebo použijete nástroje, které máme, k hledání plochy pod křivkou odmocniny z x. Odečteme od této plochy plochu pod křivkou (x na druhou). Oba tyto způsoby jsou naprosto legitimní. A teď to pojďte vyhodnotit. Co je primitivní funkcí? Z druhé základní věty integrálního počtu víme, že toto zde je jen primitivní funkce odmocniny z x. Odmocnina z x je stejná jako x na 1/2, takže to můžeme zvýšit. Tudíž máme (x na 3/2) děleno 3/2. Což je stejné jako násobení 2/3. A chceme to v mezích od 0 do 1. A od tohoto odečteme primitivní funkci z (x na druhou), což je (x na třetí) děleno 3. A opět to chceme v mezích od 0 do 1. Nejprve vyjádříme hodnotu v 1. 2/3 krát (1 na 3/2). To bude 2/3. A od tohoto odečteme hodnotu v bodě 0, což je 0. Takže nám zůstaly 2/3. A nyní odečteme toto v bodě 1... Minus 1/3. A pak odečteme tuto věc. Abych to vyjasnil, tak od hodnoty v bodě 1 odečítáme hodnotu v bodě 0, což je 0. Celé se to zjednoduší na odečtení 1/3. A tady to máte. Dostali jsme odpověď. 2/3 minus 1/3 je rovno 1/3. Což je tato plocha. Ať použijeme jakékoliv jednotky, tak je to 1/3 jednotky na druhou.
video