Aplikace integrálů
Přihlásit se
Aplikace integrálů (2/6) · 6:54

Plocha mezi třemi křivkami Jak se vypořádat s příkladem, ve kterém je plocha ohraničena třemi křivkami? Stačí si celý příklad rozdělit na dvě části, zde si to ukážeme.

Navazuje na Základní metody integrace.
V tomto videu chci zjistit plochu této oblasti, kterou stínuji žlutě. Výzva je v tom, že oblast je ohraničena funkcí pod osou x. Funkce níže je y se rovná (x na druhou lomeno 4) minus 1. Ale mám jinou horní hranici. Způsob, jak se s tím vypořádáme, je, že tuto plochu rozdělíme na dvě sekce neboli rozdělíme tuto oblast na dvě oblasti, čili na oblast vlevo a oblast vpravo, kde pro první oblast, kterou... ...vybarvím ji žlutě... první oblast celého intervalu x. A vypadá to, že ‚x‛ je mezi 0 a 1. y se rovná… Když je x rovno 1, tak je tahle funkce rovna 1, a když je x rovno 1, tak je i tahle funkce rovna 1. Toto je bod [1; 1]. Tady se protínají. V této sekci, v této podoblasti, je ,y rovno odmocnina z x' celou dobu horní funkcí. A pak můžeme...můžeme nastavit různé... můžeme odděleně vyřešit plochu této oblasti. Od ‚x‛ je rovno 1 do ‚x‛ je rovno 2, kde y rovno (2 minus x) je horní funkcí. Udělejme to. Nejprve se zamysleme nad touto oblastí. Bude to určitý integrál od ‚x‛ rovno 0 do ‚x‛ rovno 1. A naše horní funkce je odmocnina z x. A od tohoto chceme odečíst naši spodní funkci... ...(odmocnina z x) minus ((x na druhou lomeno 4) minus 1). A samozřejmě máme naše ‚dx‛. Toto zde popisuje tu žlutě vybarvenou plochu. A můžete si představit, že tato část zde, čili rozdíl obou funkcí, je výška. Vybarvím to jinou barvou. A pak to vynásobte krát ‚dx‛. Dostanete malý obdélník široký ‚dx‛. A uděláte to pro každé ‚x‛. Pro každé ‚x‛ dostanete jiný obdélník. A pak je všechny sečtete. A hledáme limitu, kdy se ‚změna x‛ bude blížit 0. Když dostanete ultra tenké obdélníky, budete jich mít nekonečně mnoho. A to je naše, respektive Riemannova, definice toho, co je určitý integrál. A toto je plocha levé oblasti. Stejnou logikou můžeme najít plochu oblasti vpravo. Oblast vpravo... ...a pak můžeme obě oblasti sečíst. Oblast vpravo od ‚x‛ je rovno 0 do ‚x‛... ...promiňte, od ‚x‛ rovno 1 do ‚x‛ rovno 2. Čili od 1 do 2. Vrchní funkce je 2 minus x. A od tohoto odečteme dolní funkci, což je (x na druhou lomeno 4) minus 1. A nyní to vypočítáme. Nejprve zjednodušíme tohle vpravo. Je to rovno určitému integrálu od 0 do 1 funkce (odmocnina z x) minus ((x na druhou lomeno 4) plus 1) dx... ...nyní to napíši jednou barvou... ...plus určitý integrál od 1 do 2 funkce 2 minus x minus (x na druhou lomeno 4). Pak odečteme...minus -1 je kladná 3...teda 1. Můžeme to přičíst k této 2. A z této 2 se stane 3. Řekl jsem, že 2 minus -1 je 3…dx. A nyní musíme vzít primitivní funkci a vyhodnotit ji pro 1 a 0. Primitivní funkce tohoto je... ...Tohle je x na 1/2. Přírůstek o 1. Mocnina se zvýší o 1, takže dostanete x na 3/2 a vynásobíte to obrácenou hodnotou nového exponentu...tudíž je to 2/3 x na 3/2. Minus...primitivní funkce x na druhou lomeno 4 je x na třetí děleno 3, to celé děleno 4, takže děleno 12…plus x. To je primitivní funkce 1. Vyhodnotíme to v 1 a 0. A zde bude primitivní funkce 3x minus (x na druhou lomeno 2) minus (x na třetí lomeno 12). Znovu to vyhodnotíme...vlastně ne. Nyní to vyhodnotíme v 2 a 1. Zde to všechno vyhodnotíme pro 1. Dostanete 2/3 minus 1/12 plus 1. A od tohoto odečtete tuto hodnotu v 0. Ale je to jen 0, takže nedostanete nic. Takže to zjednoduší žlutou plochu. A tato fialová nebo purpurová nebo lila nebo co to je za barvu... ...nejprve ji vyhodnotíme v 2. Dostanete 6 minus...podívejte, 2 na druhou lomeno 2 je 2...minus 8 lomeno 12. A od tohoto odečtete hodnotu v 1. Takže to bude 3 krát 1...to je 3... ...minus 1/2 minus (1 lomeno 12). A nyní nám zůstalo několik zlomků. Podívejme se, jak to zvládneme. Vypadá to, že 12 by mohl být společný jmenovatel. Zde máte 8/12 minus 1/12 plus 12/12. Takže se to zjednodušilo...na co? Tato žlutá část je 19/12. A pak toto...udělám to jinou barvou. 6 minus 2, to bude 4. Můžeme to napsat jako 48/12... ...čili 4...minus 8/12. A pak odečteme 3, což je 36/12. A pak přičteme 1/2, což je plus 6/12, a pak přidáme 1/12. Toto vše se zjednoduší... ...podívejte...48 minus 8 je 40... minus 36 je 4... ...plus 6 je 10...plus 1 je 11. Takže dostaneme 11/12. Zkontroluji to. 48 minus 8 je 40, minus 36 je 4...10...11. Vypadá to správně. A jsme připravení tyto dva sečíst. 19 plus 11 je rovno 30/12. Pokud to chceme trochu zjednodušit, můžeme vydělit čitatele a jmenovatele 6. Toto je rovno 5/2 nebo 2 a 1/2. Jsme hotovi. Zjistili jsme, že plocha celé oblasti je 2 a 1/2.
video