Aplikace integrálů
Přihlásit se
Aplikace integrálů (6/6) · 7:33

Objem rotačního tělesa užitím určitého integrálu 2 Úloha podobná té předchozí. Nyní však hledáme objem rotačního tělesa vzniklého rotací kolem osy y.

Navazuje na Základní metody integrace.
Máme tu graf funkce y je rovno 'x na druhou'. Chtěl bych zjistit objem tělesa vzniklého rotací kolem osy. Namísto rotace kolem osy x provedeme rotaci kolem osy y. Namísto toho, abychom začali v 0, chci, aby šlo 'y' od 1 do 4. Udělám tedy to, že vezmu tento graf… Vezmu tuto křivku, ale nebudu ji rotovat kolem osy x jako minule, ale kolem osy y. Budu ji tedy rotovat takto. Co je to za tvar, který dostaneme? Uvidíme, zda si to dokážeme znázornit. Základna bude vypadat nějak takto, pokud bychom viděli skrz. Tady nahoře by to vypadalo nějak takto. Zajímá nás vše uvnitř. Staráme se o tuto část, ne o to úplně dole. Trochu to vystínuji. Bude to asi nějak takto. Nakreslím to odděleně, abychom si to dokázali představit. Nakreslím to z různých úhlů. Pokud bychom osu y nakreslili tak, aby vycházela vzadu, vypadalo by to takto. Vypadalo by to nějak… Je to trochu menší. V tomto místě se to odřeže, asi nějak takto. Vypadá to tedy… Nevím, jak bych to pojmenoval. Snad to chápete. Udělám to tou stejnou žlutou barvou. Představa… To není žlutá. Představit si to, to je na tom to nejtěžší. Jak vidíme, není to tak zlé. Vypadá to tedy nějak takto. Vypadá to jako pralinka. Vzhůru nohama. Nakreslím zde osu y, abychom se orientovali v prostoru. Osa y tedy prochází takto. Osa x vypadá takto. Trochu jsem to naklonil. Naklonil jsem to, abychom to viděli z jiného úhlu. Tato vrchní část je tato vrchní část zde. To vám znázorňuje, jak to asi vypadá. Ještě jsme ale nepřemýšleli nad tím, jak zjistíme objem tohoto tělesa. Namísto disků s výškou 'dx', co kdybychom hledali disky s výškou 'dy'? Zamysleme se nad tím. Vytvořme… Zamysleme se nad konstrukcí disků v určitém 'y'. Sestrojíme disk v tomto bodě takový, že má stejný poloměr jako toto těleso. To je tedy náš disk. Jeho výška je… Řekněme, že namísto výšky 'dx' má výšku 'dy'. Tato výška je tedy 'dy'. Jaký je objem disku v proměnné 'y'? Jak asi tušíte, spočítáme tento integrál, přičemž jde o určitý integrál vzhledem k 'y'. Jaký je tedy objem? Tak jako v předchozím videu, musíme najít obsah podstav těchto disků. Podstav těchto válců. Obsah kruhu je π krát 'r na druhou'. Pokud bychom našli poloměr, zjistíme i obsah. Jaký je tedy poloměr? Abychom našli poloměr jako funkci y, musíme vyřešit tuto rovnici v proměnné y. Namísto tvrzení y je rovno 'x na druhou', odmocníme obě strany rovnice a řekneme, že x je rovno odmocnině z 'y'. To je definováno pouze pro nezáporná y, ale to je v pohodě, neboť jsme na kladné části osy y. Tuto rovnici zde můžeme tedy přepsat jako x je rovno odmocnině z 'y'. V podstatě se díváme na tuto stranu. Nedíváme se tady na to. Díváme se na tuto stranu. Tento graf, tuto křivku jsme vyjádřili jako funkci y. Uděláme-li to tak, jaký je tedy poloměr? Poloměr zde bude f(y). f(y) je rovno odmocnině z 'y'. Poloměr bude roven odmocnině z 'y'. Bude to funkce y. Nechci vás mást, pokud jste si mysleli, že je to f(x), a teď je to f(y). Ne, bude to funkce proměnné y. Mohli bychom ji nazvat g(y). Bude to odmocnina z 'y'. Obsah je roven π krát 'r na druhou'. To znamená, že obsah této části je roven π krát 'poloměr na druhou'. Poloměr je odmocnina z 'y'. Bude to rovno π krát '(odmocnina z 'y') na druhou' Tedy π krát y. Chceme-li objem, musíme vynásobit obsah tohoto povrchu výškou 'dy'. Objem každého disku bude π krát y krát dy. To je objem každého disku. Chceme-li objem celého tělesa, musíme sečíst objemy každého disku pro všechna 'y' mezi 1 a 4. Udělejme to tedy. Bude to určitý integrál od 1 do 4. Jen pro připomenutí, určitý integrál je velmi zvláštní suma. Sčítáme všechny tyto věci. Bereme však limitu tohoto součtu. 'dy' je stále menší a máme více disků. Jak se 'dy' stane „nekonečně malé“, máme „nekonečně mnoho“ disků. Naše suma není objem jen přibližně, v limitě jsou si rovny. Abychom zjistili objem celého tělesa, musíme vypočítat tento určitý integrál. Jak to uděláme? Čemu to bude rovno? Můžeme vytknout π. Bude to π krát primitivní funkce k 'y', což je 'y na druhou' lomeno 2. To vyčísleno v 'y' rovno 1 a 'y' rovno 4. To je rovno… Vyčísleno v 'y' rovno 4 je to 16 lomeno 2. Napíšu to takto. '4 na druhou' lomeno 2 minus ('1 na druhou' lomeno 2), což je rovno π krát [(16 lomeno 2), což je 8, minus (1 lomeno 2)]. Můžeme to brát jako (16 lomeno 2) minus (1 lomeno 2), což je rovno (15 lomeno 2). Je to tedy rovno 15π lomeno 2. Nebo také jinak: (7 a jedna polovina) krát π. Toto je však jasnější. Jsme hotovi. Našli jsme objem tělesa, vzniklého rotací ne kolem osy x, ale rotací kolem osy y, což je vzrušující.
video