Aplikace integrálů
Přihlásit se
Aplikace integrálů (3/6) · 6:55

Výpočet plochy pod křivkou - aplikovaná úloha V této úloze se nejdříve napouští voda do vany, která netěsní, a potom vypouští. Otázka zní, kolik vody bylo ve vaně, než začala vytékat?

Navazuje na Základní metody integrace.
Trvalo to 20 minut než Jughead zpozoroval, že jeho vana horké vody netěsní. Jakmile to zjistil, otevřel odtok ve vaně a zbytek vody vytekl za 40 minut. Rychlost s jakou voda odtékala z vany, v galonech za minutu, právě vidíte. Kolik galonů vody bylo ve vaně, předtím než začala prosakovat? Podívejte, co tady mají. Nakreslili galony za minutu v závislosti času v minutách. Zde vidíme modrou přímku, což je rychlost, jakou voda vytékala z vany. Rychlost výtoku vody z horké lázně. V nulté minutě ještě voda nevytékala z horké lázně, pak začala pomalu prosakovat a její rychlost se pozvolna zvyšovala. Za 10 minut z jeho vany už voda vytékala rychlostí galon za minutu. Za 20 minut z jeho vany vytékala voda rychlostí 2 galony za minutu. A pak si toho všimnul a otevřel odtok. Předpokládám, že chtěl urychlit svůj pobyt ve vaně. Takže otevřel odtok a voda začala náhle odtékat mnohem rychleji, rychlostí 20 galonů za minutu. Pak ale zpomalila. Mohli bychom o tom zapřemýšlet z hlediska fyziky. Mohl tady být nižší tlak či něco podobného. Nepůjdeme do fyzikální podstaty, ale vezmeme tento graf jako fakt. Ale rychlost, kterou voda vytékala klesala po celou dobu do 60 minuty. 40 minut poté, co otevřel odtok, čili v 60 minutě, veškerá voda vytekla. Veškerá voda aktuálně vytekla. Jak se dozvíme, kolik galonů vody bylo v horké lázni, předtím než začala přetékat? Můžete zastavit video a zkusit příklad vyřešit samostatně, předtím, než vás jím provedu. Odpovězte na otázku, kolik galonů vody bylo v horké lázni předtím, než začala přetékat? To odpovídáte na stejnou otázku, jako jaké celkové množství vody vyteklo? Takže kolik jí vyteklo? Popřemýšlejme o tom a pojďme zpět k tomu, co víme, předtím, než se dozvíme o výpočtu. Pokud se něco stane při stálé rychlosti. Řekněme, že toto je galon za minutu. Toto je stále ta stejná souvislost, předpokládám, že byste mohli říct. Čas v minutách. A řekněme, že voda odtéká konstantní rychlostí. Pokud chcete zjistit, kolik vody vytéká za určitý časový interval, řekněme, že tento časový interval je zde. Nazvěme ho ‚Δt‘. Mohli byste vynásobit rychlost časovým intervalem. Což bychom mohli ukázat touto oranžovou výškou zde, krát množství uplynulého času. Což vám v podstatě dá plochu pod křivkou tohoto intervalu. Plocha pod křivkou tohoto intervalu. Tato plocha by vám řekla galony vody, které vytečou za ‚Δt‘. A tohle nefunguje jenom pro konstantní rychlost. Když máte konstantní rychlost. Pokud vaše rychlost vypadá nějak takto, jak jsme viděli v předchozích videích. Můžete zjistit množství vody, které bylo vypuštěno. Množství vody, které bylo vypuštěno v konkrétním intervalu. Řekněme v tomto intervalu zde. Vynásobením v podstatě vyřešíme plochu pod křivkou zde, v tomto intervalu. Jednotky zapracují, pokud vynásobíte galony za minutu krát minuta, tato plocha bude podmínečně v galonech. Tato plocha bude v galonech. Jiná možnost, jak o tom přemýšlet je, jak můžete vyřešit plochu tohoto lichoběžníku tady? Můžete najít průměrnou výšku lichoběžníku, což by měl být průměr hodnoty na začátku a na konci periody. Vezměte průměr tohoto a toto bude pracovat jako přímka zde. Pokud vezmete průměrnou výšku a vynásobíte ji změnou času, tak vyřešíte plochu. Jiná možnost, jak nad tímto uvažovat, je, že vezmete průměrnou rychlost v tomto intervalu krát interval, a to vám dá úplné množství galonů. A tento nápad jednoduše aplikujeme zde. Doslova vyřešíme plochu pod křivkou přes celý interval, když voda zrovna prosakuje nebo vytéká. V podstatě plochu pod křivkou od 0 do 60 minut. A to bude tato plocha, vybarvěme to fialovou, a tato celá plochy pod ní. Abychom si pomohli, rozdělím to do sekcí. Mám zde trojúhelníkovou sekci. Mám tuto trojúhelníkovou sekci. Mohl bych to brát jako lichoběžník, ale rozdělím to na trojúhelník a obdélník. A pak tu mám tuto sekci zde v zelené barvě. Jaká je plocha celé této věci? U plochy zde máme 20 galonů za minutu. Promiňte, nikoli 20 galonů za minutu, ale 20 minut krát 2 galony za minutu, 2 galony za minutu krát 1/2. Tak zjistíme plochu pod tímto trojúhelníkem. Takže to bude 20 galonů. Vidíme, že jednotky vychází hezky. A to je v podstatě množství, které vyteklo v prvních 20 minutách. A tato zelená plocha bude 40 minut. 40 minut krát 10 galonů za minutu a možná znáte jednotky, zbavím se jich zvláštním způsobem, jen vynásobím a vyřeším to. Udělám tuto plochu bez jednotek. Takže 40 krát 10, což je rovno 400. A konečně v modré mám 40 krát tato výška zde mezi 10 a 20 je jiná 10. Ale toto chci vynásobit 1/2. Takže to bude 40 krát 10 krát 1/2, což bude 200. Nakonec dáte dohromady tyto plochy. Dostanete 400 plus 200 je 600 plus 20. Máte 620 galonů. 620 galonů. To je celkové množství vody, které vyteklo. Nebo také kolik vody bylo ve vaně předtím, než začala přetékat. Nebo horká lázeň zde. Je to trochu více než běžná vana. Mohla by to být vířivka, horká lázeň a podobně.
video