Vyšetřování průběhu funkce
Přihlásit se
Vyšetřování průběhu funkce (15/15) · 7:17

Rovnice tečny Máme zadanou funkci a bod na ní. Naším úkolem je zjistit rovnici tečny ke grafu v tomto bodě. Jak na to si ukážeme početně i s pomocí grafické kalkulačky.

Navazuje na Derivace funkce II.
Máme křivku y rovná se e^x děleno (2 plus x^3). Chceme najít rovnici tečny k této křivce v bodě 'x' se rovná 1. Když 'x' se rovná 1, 'y' se bude rovnat 'e' lomeno 3. Bude to 'e' lomeno 3. Zkusme tedy teď zjistit rovnici tečny k této křivce v tomto bodě. Zastavte si teď video a zkuste si to napřed sami. Sklon tečny v tomto bodě je to samé jako derivace v tomto bodě. Zkusme najít derivaci toho nebo dosadit derivaci této funkce v tomto bodě. Napřed to přepíšu. Mohli byste použít pravidlo kvocientu, chcete-li, ale já ho vždy zapomenu. Pravidlo součinu si zapamatuji mnohem snáz. Mohu to tedy přepsat jako 'y' se rovná... A mohu to i odlišit barevně. y se rovná (e^x) krát (2 plus x^3) na minus prvou. A derivace toho je... Napíšu ji sem. 'y' s čárkou se tedy bude rovnat derivaci této části, e^x. Takže derivace e^x je prostě e^x. Zapíšu to. Vezmeme tedy derivaci toho. A právě to, co je úžasné na e^x, je to, že derivace e^x je prostě e^x krát tahle věc. Tedy krát (2 plus x^3)^-1. A pak k tomu přidáme tuhle věc. Tedy už ne její derivaci. Přidáme e^x krát derivace tohoto tady vpravo. Jdeme tedy derivovat. Můžeme na to jít řetízkovým pravidlem. Bude to derivace z (2 plus x^3) na minus prvou podle (2 plus x^3) derivace z (2 plus x^3) podle x. Bude se to tedy rovnat... Zapíšu to takto: - (2 plus x^3)^-2. A to pak vynásobíme derivací (2 plus x^3) podle x. Derivace tohoto podle x je právě 3x^2. Samozřejmě by to šlo trochu zjednodušit. Ale smyslem toho celého je najít hodnotu derivace v tomto bodě. Dosaďme ji tedy. Najděme hodnotu 'y' s čárkou, když 'x' se rovná 1. y' (1), když x se rovná 1. Zjednoduší se to takto: Toto bude e krát (2 plus 1)^-1, takže to bude jen 1/3, ne? (2 plus 1) na minus prvou. To je tedy 3 na minus prvou. To je 1/3. Tedy krát 1/3 plus e^1. Podívejme se, co to dělá? Tady toto, to je (2 plus 1)^-2. Takže toto... Takže tato část tady se bude rovnat... Podívejme se, bude to... Nechci tu udělat chybu z nepozornosti. 3^-2. 3^2 je 9. 3^-2 je 1/9. Bude to tedy 1/9. Vynásobíte tady ten zápor. Je to tedy 1/9. A pak to vynásobíme krát 3 krát 1. Je to tedy -1/9 krát 3. Tady tímto krát 3. Je to tedy -3/9 neboli -1/3. Tedy krát -1/3. Jen jsem tu nahradil 'x' za jedničku a dosadil ji. Tohle je zajímavé. V podstatě jsem... Znovu to přepíšu. Tohle se rovná e/3 minus e/3, což se rovná 0. Směrnice derivace, když 'x' se rovná 1, je tedy rovna 0. Nebo směrnice tečny se rovná 0. ... Zjednodušilo se to na celkem nekomplikovanou situaci. Kdybych chtěl napsat přímku ve formě směrnice a průsečíku, mohl bych ji napsat takto: y se rovná mx plus b, přičemž 'm' je směrnicí a 'b' je průsečík s osou y. Teď víme, že směrnice tečny v tomto bodě je 0. Bude to tedy 0. Celý výraz tedy bude 0. Bude to tedy mít formu y se rovná b. Bude to jen horizontální přímka. Co je horizontální přímka, která obsahuje tady ten bod? Obsahuje hodnotu y, která se rovná e/3. Toto je horizontální přímka. Má stále stejnou hodnotu y. Má-li tedy hodnotu y se rovná e/3, pak víme, že rovnice tečny k této křivce v tomto bodě bude y se rovná e/3. Jiný způsob, jak si to tady představit, je ten, že dosadíme, kdy je 'x' je rovno 1. Ani tu žádné 'x' není. Ale když má 'x' jakoukoli hodnotu, y se rovná e/3, dostáváme b se rovná e/3, nebo byste měli dostat y se rovná e/3. A to je jen horizontální přímka. Ukažme si to názorně, abychom se ujistili, že to skutečně dává smysl. Vytáhnu tedy svůj grafický kalkulátor. ... Jsem v grafickém módu. Pokud byste chtěli vědět, jak se tam dostat, jděte do grafu 'y rovná se...' A já tedy zadám: e^x děleno (2 plus x)^3. Vypadá to správně. Dopředu jsem nastavil rozsah, abych ušetřil čas. Teď z toho udělám graf. Dívejte. Dělá to všelijaké zajímavé věci. Dobrá. Dívejte na to. Dobrá a teď můžeme vystopovat, kde se 'x' rovná 1. x se rovná 1. Přesně tady, vidíte: y se rovná e/3, což je tento desetinný rozvoj tady. A tady ten sklon vypadá, že je 0, že tečna bude v tomto bodě jen horizontální přímkou. Což mi ohledně naší odpovědi dává celkem dobrý pocit.
video