Tečna k y=𝑒ˣ/(2+x³)

Máme křivku y rovná se e na x lomeno (2 plus x na třetí) a chceme najít rovnici tečny k této křivce v bodě x rovno 1, přičemž když je x rovno 1, y se bude rovnat e lomeno 3. Zkusme tedy najít rovnici tečny k téhle křivce v tomto bodě. Doporučuji vám, abyste si teď zastavili video a zkusili to vyřešit sami. Směrnice tečny v tomto bodě je totéž jako derivace v tomto bodě, takže zkusme spočítat derivaci téhle funkce v tomto bodě. Nejprve si to přepíšu. Můžeme použít derivaci podílu, ale já vzorec pro derivaci podílu vždy zapomenu, derivování součinu si pamatuji mnohem lépe. Tohle si tedy přepíšu jako y rovná se... Rovnou to můžu udělat různobarevně. ...rovná se e na x krát (2 plus x na třetí) na minus prvou. Derivace tohohle, tedy y s čárkou, se rovná derivaci této části, tedy e na x... Derivace e na x je zase e na x. Děláme derivaci podle x. Proto je e na x tak skvělá funkce, derivace e na x je opět e na x. ...krát tento výraz, tedy krát (2 plus x na třetí) na minus prvou. Dále musíme přičíst tohle, přičemž teď už nejde o derivaci, tedy plus e na x krát derivace tohoto výrazu. Tohle musíme zderivovat podle x. Použijeme vzorec pro derivaci složené funkce. Bude to derivace (2 plus x na třetí) na minus prvou podle (2 plus x na třetí) krát derivace (2 plus x na třetí) podle x. Takže to bude minus (2 plus x na třetí) na minus druhou, a tohle vynásobíme derivací (2 plus x na třetí) podle x. Derivace tohohle podle x se rovná 3 krát x na druhou, takže krát 3 krát x na druhou. Tohle si samozřejmě můžeme trochu zjednodušit, pokud chceme, ale naším cílem je zjistit hodnotu derivace v tomto bodě, takže vyčíslíme derivaci y v bodě x rovno 1. Když se x rovná 1, tento výraz bude e krát (2 plus 1) na minus prvou, což je jedna třetina, (2 plus 1) na minus prvou je 3 na minus prvou, a to je jedna třetina, takže krát 1 lomeno 3 plus e na prvou... Čemu se rovná tohle? Tato část je (2 plus 1) na minus druhou, což je 3 na minus druhou. 3 na druhou je 9, 3 na minus druhou je tedy 1 lomeno 9. Takže to bude 1 lomeno 9 a tady je ještě minus, tudíž minus (1 lomeno 9), a to musíme vynásobit 3 krát 1, takže dostaneme minus (1 lomeno 9) krát 3, a to je minus (3 lomeno 9), neboli minus (1 lomeno 3). Zde tedy bude krát -(1 lomeno 3). Udělal jsem jen to, že jsem za x dosadil 1 a vyčíslil výraz. A tohle je docela zajímavé, protože jsem, když to přepíšu... Toto se rovná e lomeno 3 minus e lomeno 3, a to se rovná 0. Derivace v bodě x rovno 1 se tedy rovná 0, neboli směrnice tečny se rovná 0. Zjednodušilo se nám to tedy na poměrně přímočarou situaci. Kdybychom chtěli najít rovnici ve směrnicovém tvaru, což je tvar y rovná se ‚m‘ krát x plus ‚b‘, kde ‚m‘ je směrnice a ‚b‘ je y-ová souřadnice průsečíku s osou y... Už víme, že směrnice tečny v našem bodě je 0. Zde tedy bude 0, a tak i celý tento člen bude 0. Rovnice tak bude mít tvar y rovná se ‚b‘, jde tedy o vodorovnou přímku. Která vodorovná přímka prochází tímto bodem? Určitě prochází bodem s y-ovou souřadnicí e lomeno 3. Jde o vodorovnou přímku, takže y zůstává celou dobu stejné. Pokud tedy nabývá hodnoty y rovná se e lomeno 3, tak víme, že rovnice tečny k této křivce v tomto bodě je y rovná se e lomeno 3. Na to jsme mohli přijít taky tak, že bychom sem za x dosadili 1. Tady ani žádné x není, ale když je x libovolné číslo, y se rovná e lomeno 3, takže bychom dostali, že ‚b‘ se rovná e lomeno 3, a tedy že y se rovná e lomeno 3. Jde tedy o vodorovnou přímku. Zkusme si to nakreslit, abychom se ujistili, že to dává smysl. Použiju na to svoji grafickou kalkulačku. Teď ji mám v grafickém režimu. Pokud chcete vědět, jak se do něho dostat, tak jen stačí stisknout tlačítko „GRAPH“. y se rovná e na x děleno (2 plus x na třetí). Měřítko jsem nastavil už dřív, abych ušetřil čas. Tak se podívejme na graf. Dělá různé zajímavé věci, podívejte se na to. Nyní si můžeme najít bod x rovno 1. Vidíme, že y je e lomeno 3, i když zde je to napsané pomocí desetinného rozvoje. Skutečně to vypadá, že sklon křivky v tomto bodě je 0, tedy že tečna v tomto bodě bude vodorovná přímka. Naše odpověď tedy vypadá dobře.