Vyšetřování průběhu funkce
Přihlásit se
Vyšetřování průběhu funkce (7/15) · 7:49

Hledání lokálních minim a maxim funkce - příklad 2 Stejné zadání jako u předchozího příkladu, pouze jiná zadaná funkce. Pojďme si ještě jednou procvičit hledání minim a maxim.

Navazuje na Derivace funkce II.
Máme funkci g(x) rovnou 'x na čtvrtou' minus 'x na pátou'. Chceme zjistit, bez nutnosti kreslit graf, pro které hodnoty 'x' má funkce g(x) lokální maximum. Jen pro připomenutí, co je lokální maximum, si zde nakreslím smyšlenou funkci. Zde jsou lokální maxima a jsou snadno viditelné. Toto vypadá jako lokální maximum, vypadá to jako vršek hory. Všechny vypadají jako lokální maxima. Co mají společného? V grafu se v těchto bodech mění funkce z rostoucí na klesající. Nebo se dá také říct, že se první derivace mění z kladné na zápornou. Podíváte-li se na tento interval, g' je větší než 0. Na dalším intervalu, kde funkce klesá, by g' byla menší než 0. Co nás skutečně zajímá je, kdy je g'… Pokud se zajímáme o lokální maxima, prakticky se ptáme na to, kdy se hodnota g' mění z kladné na zápornou? Změnu z kladné derivace na zápornou… Hodnoty, na které bychom se měli zaměřit, jsou stacionární body, v těchto stacionárních bodech je g' buď rovna 0 nebo není definovaná. Tak se zamysleme, kde je g'(x) rovna 0? Tak si spočtěme derivaci g(x). Zde použijeme pravidlo pro derivaci mocnin, 4 krát 'x na třetí' minus 5 krát 'x na čtvrtou' se rovná 0. Můžeme vytknout 'x na třetí'. 'x na třetí' krát (4 minus 5x) se rovná 0. To platí pro 'x' je rovno 0. Raději to rozepíšu. To platí pokud je 'x na třetí' rovno 0 nebo (4 minus 5x) je rovno 0. Pro třetí mocninu platí, že bude rovna 0, když bude 'x' rovno 0. (4 minus 5x) rovno 0, přičtu 5x k oběma stranám rovnice, získám tedy 4 je rovno 5x, po vydělení obou stran číslem 5 získám 'x' je rovno 4/5. Toto jsou tedy dva body, kde je derivace rovna 0. Existují nějaké body, kde není derivace definovaná? Naší funkcí je mnohočlen, její derivací je opět mnohočlen, je tedy definována pro všechna reálná čísla. Toto jsou tedy naše dva stacionární body. Teď se podívejme, jak se chová g' na okolí těchto bodů. Nakreslím si zde jednoduchou číselnou osu pro lepší vizualizaci. Tak, tady je číselná osa, zajímají nás body 0 a 4/5. Řekněme, že zde je -1, zde 0 a zde 1, tedy máme jeden stacionární bod zde, udělám ho fialově… Máme jeden stacionární bod zde v 'x' je rovno 0, další stacionární bod je v 'x' rovno 4/5. To je zhruba tady. Takže 4/5. Teď se zamysleme, jaké hodnoty má g' na těchto intervalech. Tyto stacionární body jsou jediná místa, kde může g' změnit znaménko. Zamysleme se první nad tímto… Jen si najdu nějakou novou barvu. Zamysleme se nad intervalem od minus nekonečna do nuly. Máme otevřený interval od minus nekonečna do nuly. Z toho jednoduše vybereme hodnotu. Zkusme -1, ta se snadno vyčíslí. Zde je 4 krát '(-1) na třetí', to je dohromady 4 krát (-1), minus 5 krát '(-1) na čtvrtou', tedy 5 krát 1. Dohromady to bude -4 minus 5, což je -9, tedy v tomto bodě je g'(x) rovna -9. Víme tedy, že pro celý tento interval, protože je nalevo od kritického bodu, je g'(x) menší než 0, funkce tedy na tomto intervalu klesá. Víme, že pro lokální maximum potřebujeme jít z růstu na pokles, je tedy jasné, že v tomto stacionárním bodě to nelze, protože už klesáme nalevo od něj. Zamysleme se nad tím, co se děje na dalších intervalech. Mezi 0 a 4/5, tedy na intervalu (0, 4/5), vyberme si nějaké číslo z tohoto intervalu. Vyberme si například 1/2, to by mohlo být jednoduché. Vyčísleme hodnotu g' v bodě 1/2. 4 krát '(1/2) na třetí', což je 4 krát 1/8, tedy 4/8, tedy 1/2, minus 5 krát '(1/2) na čtvrtou', což je 5 krát 1/16, tedy 5/16. To je rovno 8/16 minus 5/16, což se rovná 3/16, ale důležité je, že jde o kladnou hodnotu. Tedy v tomto modrém intervalu… Změním barvu 4/5, aby bylo jasné, že nejde o část intervalu… V tomto světle modrém intervalu mezi nulou a 4/5, je g'(x) větší než 0, tedy víme, že funkce je rostoucí. Tak se koukněme, co se děje napravo. Nejjednodušší hodnota na vyčíslení je 1. Tedy zkusme pro 'x' rovno 1. Je to v tomto intervalu. Pro 'x' rovno 1, napíšu pouze g'(x) je rovno 4 minus 5, což je rovno -1, tedy g'(x) je menší než 0. Takže naše funkce g(x) roste zde, klesá… Pardon, musím být opatrný. Funkce g(x) zde klesá, protože její derivace je záporná. Dále funkce roste zde, protože je derivace kladná. Nakonec funkce klesá zde. Tedy ve kterém stacionárním bodě se funkce mění z rostoucí na klesající? V bodě 'x' je rovno 4/5, našli jsme tedy lokální maximum v bodě 4/5. Pokud by byla otázka, kde je lokální minimum, to by bylo v bodě x rovno 0, kde se g(x) mění z klesající na rostoucí, ale zde jsme odpověděli na to, v kterém bodě nalezneme lokální maximum.
video