Vyšetřování průběhu funkce
Přihlásit se
Vyšetřování průběhu funkce (8/15) · 7:58

Weierstrassova věta V tomto teoretickém videu si osvětlíme koncept věty o nabývání maxima a minima spojité funkce na uzavřeném intervalu, který jsme doteď intuitivně používali.

Navazuje na Derivace funkce II.
Zamysleme se nad Větou o nabývání maxima a minima na spojitém intervalu. Vychází tak trochu ze selského rozumu. Ve všech takových Větách je zábavné přemýšlet o extrémních případech. Proč je Věta vyslovena zrovna takto? Možná nám to dá trochu více intuice. Věta o nabývání maxima a minima říká, že máme-li nějakou funkci, která je spojitá na uzavřeném intervalu… Řekněme na uzavřenám intervalu [a, b] a když jde o uzavřený interval, znamená to, že zahrnuje oba krajní body, proto tu máme hranaté závorky, namísto těch kulatých. …pak funkce nabývá nějaké maximální hodnoty a také nějaké minimální hodnoty. Pak to znamená, že existuje… Toto je logický symbol, kvantifikátor, pro to, že něco existuje. Existuje maximum funkce na intervalu a minimum funkce na intervalu. Zamysleme se nad tím trochu. Nejspíš je to pro vás celkem intuitivní. Asi si říkáte: „Proč o tom museli formulovat Větu?“ „Proč tu musí být předpoklad spojitosti?“ Hned se dostaneme k tomu, proč je spojitost zásadní. Toto je tedy má osa 'x', toto je má osa 'y'. Nakresleme interval. Interval je tedy od 'a' do 'b'. Toto je 'a', toto bude 'b'. Řekněme, že toto je f(a). To je tedy f(a). Řekněme, že toto je f(b). Tady tato hodnota je f(b). Řekněme, že funkce dělá něco takového. Řekněme, že se funkce na tomto intervalu chová takto. Kreslím to libovolně. Nakreslil jsem spojitou funkci. Opravdu jsem nemusel zvednout pero, když jsem ji tady kreslil. Můžete vidět tuto spojitou funkci, kterou jsem nakreslil. Je jasné, že na tomto intervalu nabývá svého maxima a minima. Bod minima? Vypadá to, že jsme ho trefili tady, když 'x' je, řekněme, rovno 'c'. Tady toto je f(c). Bod maxima na tomto intervalu máme, kdy 'x' je, řekněme, rovno 'd'. Tady toto je f(d). Tvrzení můžeme přeformulovat: Je-li funkce spojitá na uzavřeném intervalu, existují body 'c' a 'd' z tohoto intervalu… Jsou tedy prvky této množiny. …z tohoto intervalu takové, že… Používám tu logický zápis. …takové, že f(c) je menší nebo rovno f(x), které je menší nebo rovno f(d), pro všechna 'x' z intervalu [a, b]. Tak. V tomto případě říkáme, že máme minimum v bodě 'x' rovno 'c', to je tady, maximum v bodě 'x' rovno 'd' a všechny ostatní 'x' z intervalu jsou mezi těmito dvěma hodnotami. Mohli bychom nakreslit další spojité funkce. Znovu opakuji, neprovádím důkaz této Věty. Chci vás s ní seznámit a ukázat, proč je takto vyslovena. Mohli byste tu nakreslit mnoho funkcí, které jsou na uzavřeném intervalu spojité. V tomto případě je maximum v bodě 'b' a minimum je přímo v bodě 'a'. U konstantní funkce bychom mohli vzít libovolný bod za maximum či minimum. A uvidíme, že tomu tak skutečně bude. Pojďme trochu hlouběji, proč je nutné, aby byla funkce spojitá a proč je nutný uzavřený interval. Nejprve, proč musí být funkce spojitá? Snadno můžeme sestrojit funkci, která není spojitá na uzavřeném intervalu, u které je těžké stanovit minimum a maximum. Zastavte si video a zkuste si takovou funkci sestrojit sami. Sestrojte nespojitou funkci na uzavřeném intervalu, u které bude obtížné, nebo u které opravdu nelze na tomto intervalu minimum či maximum určit. Podíváme se na to. Namaluji tu graf. Řekněme, že toto je můj interval. Mějme tu 'a' a 'b'. Řekněme, že funkce dělá něco takového. Řekněme, že naše funkce tam, kde bychom čekali, že má maximum, vůbec není definovaná. A tam, kde byste čekali, že má minimum, také není definována. Zde můžete říct, že se funkce blíží… Když se 'x' blíží tomuto číslu, hodnota funkce se blíží tomuto, ale tato limita nemůže být maximum, protože se k ní funkce nikdy nedostane. Podívejme se na to zblízka. Dejme tomu, že toto číslo je 5. Mohli byste říct, že maximum je 4,9. Pak byste vzali 'x' blíže k této hodnotě a 'y' by bylo 4,99 nebo dokonce 4,999. Pořád budete přidávat 9. Není tu tedy žádná maximální hodnota. Zrovna tak tady s minimem. Nakreslím to, aby to vypadalo víc jako minimum. Můžete se tomu blížit víc a víc, ale žádné minimum tam není. Řekněme, že tato hodnota je 1. Dostanete tedy 1,1 či 1,01 či 1,0001. Mohli byste dál psát nuly mezi jedničky, ale žádná minimální hodnota tam není. Teď k tomu, proč záleží na tom, že jde o uzavřený interval. Proč musíte zahrnout i koncové body intervalu. Představme si, že by to byl otevřený interval. Představme si otevřený interval. Někdy můžeme psát závorky i na osu, aby bylo jasné, o jaký typ intervalu jde. Pokud chceme otevřený interval, tady je 'a', tady je 'b'. Vezměme velmi jednoduchou funkci, třeba nějakou takovou. Kdyby bylo 'a' v našem intervalu, v 'a' bychom našli minimální hodnotu. f(a) by byla hodnota minima. f(b) by byla, zdá se, hodnotou maxima. Ale 'a' ani 'b' do intervalu nezahrnujeme. Jde o otevřený interval, můžete se blížit k 'b' a dostávat stále větší hodnoty, aniž byste 'b' kdykoli dosáhli. Protože, znovu, bod 'b' nezahrnujeme. Stejně tak byste se mohli blížit k 'a' a dostávat stále menší hodnoty, ale 'a' není ve vaší množině bráno v úvahu. f(a) tedy nemůže být minimem. Na jedné straně je to velmi intuitivní, téměř zřejmá Věta, ale na té druhé je dobré vědět, proč je třeba, aby byla funkce spojitá a proč je třeba říct, že je na uzavřeném intervalu.
video