Vyšetřování průběhu funkce
Vyšetřování průběhu funkce (9/15) · 6:13

Testování pomocí druhé derivace Druhá derivace funkce nám dokáže vyšetřit konkávnost a konvexnost. Zároveň si se s její pomocí můžeme ujistit o polohách maxim a minim na funkci.

Navazuje na Derivace funkce II.
Takže v tomto videu nás chci seznámit s testem pomocí druhé derivace, a ještě než se dostanu k jádru věci, chtěl bych intuitivně nahlédnout do toho, co nám test pomocí druhé derivace říká. Nejprve zde nakreslím osy. Řekněme, že toto je moje osa y a toto moje osa x a že máme funkci, která má maximum v bodě x rovno c. Takže řekněme, že máme situaci, která vypadá přibližně takto, a že x je rovno c tady, tedy tohle je bod c, a tady je f(c). Pokusím se nakreslit rovnější přerušovanou čáru… Takže tady se x rovná c a můžeme vidět, že zde máme bod lokálního maxima, a můžeme použít nástroje kalkulu, abychom přišli na to, co se tam děje. Jednu věc víme. Víme, že sklon tečny, alespoň podle toho, jak jsem to tu nakreslil, je nulový. Takže můžeme říct, že první derivace funkce f v bodě c je rovna 0. A další věc, co vidíme, je, že funkce je konkávní v okolí bodu c. Takže si všimněte, že sklon se neustále snižuje a je nejprve kladný, ale pak čím dál tím menší, až je najednou nulový a pak začne být záporný a je čím dál tím víc záporný. Takže víme, že druhá derivace funkce f v bodě c je méně než 0. Takže neudělal jsem tu žádný hluboký matematický důkaz, ale mám kritický bod v x rovno c, takže derivace f v bodě c se rovná 0, a také vidíme, že druhá derivace je zde menší než 0. Intuitivně dává smysl, že jsme v hodnotě maxima. A mohli bychom to dělat opačně, kdybychom v bodě, kde x se rovná c, měli minimum. Takže první derivace by stále měla být rovna 0, protože sklon tečny zde je stále nulový. Takže první derivace f v bodě c je rovna 0. Ale v této druhé situaci je funkce konvexní. Sklon se neustále zvětšuje. Máme nahoře otevřenou mísu a máme zde tedy hodnotu minima nebo také můžeme říct, že druhá derivace je zde větší než 0. Na pohled opravdu vidíme, že je zde minimum, a jen při pohledu na derivace můžeme říct, první derivace je rovna 0 a je to konvexní. Druhá derivace je větší než 0. A tato intuice, kterou jsme si snad vytvořili, říká to, co nám říká test pomocí druhé derivace. Takže to říká, že když máme nějakou funkci… Řekněme, že je dvakrát diferencovatelná. Takže to znamená, že na nějakém intervalu… Takže to znamená, že její první i druhá derivace jsou definované. Řekněme, že je nějaký bod, v x rovno c, kde první derivace této funkce se rovná 0. Takže sklon tečny je zde nulový a ta derivace existuje v okolí bodu c. A většina funkcí, se kterými se setkáme, bývá diferencovatelná v okolí c, pokud je diferencovatelná v bodě c. A také předpokládáme, že existuje druhá derivace, že je to dvakrát diferencovatelné. Pak tedy můžeme mít co do činění s bodem maxima nebo s bodem minima. Anebo možná nevíme, s čím se setkáváme, možná to není minimum ani minimum. Ale díky testu pomocí druhé derivace, pokud funkci podruhé zderivujeme a zjistíme, že druhá derivace je opravdu záporná, tak máme bod maxima. Takže to je ta situace, se kterou jsme tady začali. Pokud je druhá derivace větší než 0, tak se nacházíme v téhle druhé situaci, kdy je funkce konvexní. Tam, kde je sklon nulový, je to dno té mísy. Takže máme bod relativního minima a pokud je druhá derivace nula, tak je to nerozhodně. Nevíme, co se v tom bodě doopravdy děje. Nemůžeme o tom nic najisto tvrdit. Takže teď udělejme rychlý příklad, abychom viděli, jestli už to chápeme. Řekněme, že mám nějakou dvakrát diferencovatelnou funkci h a že h se v bodě 8 rovná 5. Také vám řeknu, že derivace h v bodě 8 je rovna 0 a že druhá derivace h v bodě 8 je rovna -4. Takže s tímto zadáním, můžete mi říct, jestli je bod [8,5] minimem, maximem, anebo jestli pro to není dost informací? Nedostatek informací nebo nerozhodně? A jako vždy, zastavte video a zkuste na to přijít. Předpokládáme, že funkce má druhou derivaci a myslím, že můžeme pro jednoduchost předpokládat, že derivace existuje v okolí bodu x rovno 8. Takže v tomto příkladu, c je 8. Takže bod [8,5] je určitě na té křivce. Derivace je rovna 0. Takže máme co do činění s jednou ze známých situací a naše druhá derivace je menší než 0. Druhá derivace je menší než 0. To nám bylo zadáno. Fakt, že druhá derivace funkce h je menší než 0, nám říká, že spadáme do tohoto druhu situace. Takže jen s těmi informacemi, které nám dali, můžeme říct, že v bodě [8,5] máme maximum. Kdyby nám řekli, že druhá derivace je rovna 0, pak by to nešlo rozhodnout. A kdyby nám řekli, že druhá derivace je větší než 0, tak bychom měli minimum v bodě, kde x se rovná 8.
video