Vyšetřování průběhu funkce
Přihlásit se
Vyšetřování průběhu funkce (3/15) · 5:51

Hledání stacionárních bodů Na konkrétní funkci si vyzkoušíme početně najít stacionární body. Tedy takové body, v nichž má funkce nulovou derivaci.

Navazuje na Derivace funkce II.
Řekněme, že f(x) je rovno x krát 'e na (-2 krát 'x na druhou')'. Chceme najít stacionární body funkce „f“. Pozastavte si video a zkuste na stacionární body přijít sami. Asi jste to tedy zkusili. Zopakujme si, co je stacionární bod. Řekneme, že bod „c“ je stacionárním bodem funkce „f“ tehdy a pouze tehdy, je-li derivace funkce f v bodě c rovna 0, nebo není definována. Hledáme-li stacionární body funkce, chceme najít všechny body, kde je derivace funkce f(x) podle proměnné x, f´(x), rovna 0, nebo není definována. Zamysleme se nad tím, jak zjistíme derivaci této funkce. f´(x) bude… Budeme muset aplikovat pravidla o derivování součinu a složené funkce. Bude to derivace funkce „x“ podle proměnné 'x', krát 'e na (-2 krát 'x na druhou')', plus derivace „e na (-2 krát 'x na druhou')“ podle proměnné 'x', krát „x“. To je pravidlo o derivaci součinu. Derivace „x“ podle proměnné 'x', krát 'e na (-2 krát 'x na druhou')' plus derivace „e na (-2 krát 'x na druhou')“ podle proměnné 'x', krát „x“. Kolik to bude? Toto, co je fialově, derivace „x“ podle 'x', to bude 1. Tato první část bude rovna 'e na (-2 krát 'x na druhou')' Teď derivace 'e na (-2 krát 'x na druhou')'. Udělám to růžově. Tato část bude rovna… Použijeme řetězové pravidlo. Derivace „e na (-2 krát 'x na druhou')“ podle proměnné '(-2 krát 'x na druhou')', to bude 'e na (-2 krát 'x na druhou')'. To vynásobíme derivací funkce „(-2 krát 'x na druhou')“ podle 'x'. To bude -4x. …krát -4x. Samozřejmě tu máme ještě krát 'x'. Máme tu 'x'. Můžeme to zjednodušit? Oba členy mají „e na (-2 krát 'x na druhou')“. Pokusím se přijít na to, kde je to nedefinováno, nebo rovno 0. Zamysleme se nad tím trochu. Vytkneme „e na (-2 krát 'x na druhou')“, to udělám zeleně. Budeme mít… Toto je „e na (-2 krát 'x na druhou')“. Tady je (1 minus 4 krát 'x na druhou'). (1 minus 4 krát 'x na druhou'). Toto je tedy derivace funkce f(x). Kdy to bude nedefinováno, nebo rovno 0? 'e na (-2 krát 'x na druhou')', to bude definováno pro všechna 'x'. Tato část bude rovněž definována pro všechna 'x'. V každém bodě to bude definováno. Zamysleme se nad tím, kdy je to rovno 0. Aby byl takový součin roven nule… 'e na (-2 krát 'x na druhou')', to se nikdy nebude rovnat 0. Pokud by byl tento mocnitel velmi záporné číslo, bude se jeho hodnota blížit nule, ale nikdy jí nebude rovna. Tato část nemůže být rovna 0. Aby byl součin roven nule, alespoň jeden činitel musí být roven 0. Jediná možnost tedy je, že (1 minus 4 krát 'x na druhou') bude 0. (1 minus 4 krát 'x na druhou') rovno 0, jen to přepíšu. (1 minus 4 krát 'x na druhou') rovno 0, kdy to nastane? Snadno vyřešíme. Přičteme 4 krát 'x na druhou'. 1 je rovno 4 krát 'x na druhou'. Vydělíme 4, (1 lomeno 4) je rovno 'x na druhou'. Pro která 'x' to platí? Odmocníme. 'x' je rovno plus nebo minus (1 lomeno 2). (-1 lomeno 2) na druhou je (1 lomeno 4). (+1 lomeno 2) na druhou je (1 lomeno 4). Je-li 'x' rovno plus nebo minus (1 lomeno 2), derivace funkce je rovna 0. Napíšu to takto. Derivace funkce „f“ v bodě (1 lomeno 2) je rovna 0. Můžete to ověřit zde. Derivace funkce „f“ v bodě (-1 lomeno 2) je rovna 0. Zeptá-li se vás někdo na stacionární body, jsou to body to plus a minus (1 lomeno 2).
video