Hledání stacionárních bodů funkce

Řekněme, že f(x) se rovná x krát e umocněné na (−2 krát (x na druhou)). Chceme najít stacionární body funkce f. Zastavte si video a zkuste stacionární body funkce f najít nejprve sami. Předpokládám, že jste to zkusili. Zopakujme si, co je stacionární bod. Řekneme, že bod ‚c‘ je stacionárním bodem funkce ‚f‘ tehdy a jen tehdy... Napíšu jenom „iff“, což je zkratka pro „tehdy a jen tehdy“. ...když je derivace funkce f v bodě ‚c‘ rovna 0, nebo není definována. Když tedy hledáme stacionární body funkce f, tak hledáme všechny body, v nichž je derivace tohoto výrazu podle x buď rovna 0, nebo není definovaná. Zamysleme se teď nad tím, jak spočítáme derivaci této funkce. f(x) s čárkou bude… Budeme muset použít pravidlo pro derivaci součinu a také složené funkce. Bude to derivace podle ‚x‘ z ‚x‘ vynásobená e na (−2 krát (x na druhou)) plus derivace podle ‚x‘ z e na (−2 krát (x na druhou)), kterou ještě musíme vynásobit číslem ‚x‘. To je jen pravidlo pro derivaci součinu. Derivace x vynásobená e na (−2 krát (x na druhou)) plus derivace z e na (−2 krát (x na druhou)) vynásobená číslem ‚x‘. Kolik to bude? To, co teď zvýrazňuji fialově, tedy derivace ‚x‘ podle ‚x‘, se rovná 1. Tato první část tak bude rovna e na (−2 krát (x na druhou)). Dále tu máme derivaci z e na (−2 krát (x na druhou)). Udělám to růžově. Tato část bude rovna… Použijeme vzorec pro derivaci složené funkce. Derivace z e na (−2 krát (x na druhou)) podle (−2 krát (x na druhou)), to bude jednoduše e na (−2 krát (x na druhou)). Tohle vynásobíme derivací z (−2 krát (x na druhou)) podle x, což se rovná −4 krát x, takže tady bude krát −4 krát x. Samozřejmě tu máme ještě tohle x. Bude tu ještě x. Můžeme to nějak zjednodušit? Oba členy obsahují e na (−2 krát (x na druhou)). Musíme nějak přijít na to, kde je tohle nedefinováno, nebo rovno 0. Trochu se nad tím tedy zamysleme. Když vytkneme e na (−2 krát (x na druhou))... Napíšu to zeleně. ...tak nám vyjde, že toto se rovná e na (−2 krát (x na druhou)) krát... Musíme to vynásobit výrazem (1 minus 4 krát (x na druhou)). Toto je tedy derivace funkce f(x). Kdy tohle bude nedefinováno, nebo rovno 0? e na (−2 krát (x na druhou)), to bude definováno pro všechna x. Tato část bude rovněž definována pro všechna x, takže nejsou žádné body, kde není derivace definovaná. Zamysleme se tedy nad tím, kdy bude tohle rovno 0. Máme součin dvou výrazů, který se rovná 0. e na (−2 krát (x na druhou)) se nikdy nebude rovnat 0. Pokud by byl tento exponent velmi záporné číslo, vyjde nám hodnota blížící se nule, ale nikdy to nebude přesně 0. Tato část tudíž nemůže být rovna 0. Aby byl ale součin roven 0, alespoň jeden činitel musí být roven 0. Jediná možnost, jak může být derivace f(x) rovna nule, je ta, že (1 minus 4 krát (x na druhou)) se bude rovnat 0. (1 minus 4 krát (x na druhou)) se rovná 0, jen to přepíšu. (1 minus 4 krát (x na druhou)) se rovná 0, kdy k tomu dojde? Tohle snadno vyřešíme, nejprve k oběma stranám přičteme 4 krát (x na druhou). Dostaneme, že 1 se rovná 4 krát (x na druhou). Obě strany nyní vydělíme 4, čímž dostaneme, že (1 lomeno 4) se rovná x na druhou. Pro která x tohle platí? Obě strany odmocníme a na jednu stranu přidáme plus minus, čímž dostaneme, že x se rovná plus nebo minus (1 lomeno 2). (−1 lomeno 2) na druhou je 1 lomeno 4 a (1 lomeno 2) na druhou je 1 lomeno 4. Když je tedy x rovno plus nebo minus (1 lomeno 2), f s čárkou, tedy derivace, se rovná 0. Napíšu to takto. f s čárkou v bodě (1 lomeno 2) se rovná 0. Můžete si to tady ověřit. f s čárkou v bodě minus (1 lomeno 2) se rovná 0. Takže když se nás někdo zeptá na stacionární body téhle funkce, tak jde o body (1 lomeno 2) a minus (1 lomeno 2).