Vyšetřování průběhu funkce
Přihlásit se
Vyšetřování průběhu funkce (4/15) · 4:33

Intervaly monotonie Chceme najít interval, na kterém je funkce klesající (monotónní). Takový interval se vyznačuje tím, že ve všech bodech má zápornou derivaci.

Navazuje na Derivace funkce II.
Máme zadanou funkci f(x) je rovno 'x na šestou' minus 3 krát 'x na pátou'. Chceme vědět, na jakých intervalech je f(x) klesající, přičemž to zjistíme, aniž bychom kreslili graf. Způsob, jakým to provedeme, je zjistit derivaci f(x) podle proměnné x a budeme se ptát, kdy je derivace záporná. Je-li změna f(x) vůči x záporná, pak je funkce klesající. Nejdříve tedy zderivujme. f´(x) bude rovno… To je snadné. 6 krát 'x na pátou' minus… 5 krát 3 je 15, snížíme řád mocniny o 1. …minus 15 krát 'x na čtvrtou'. Zamysleme se, kdy je to menší než 0. Na jakých intervalech je 6 'x na pátou' minus 15 'x na čtvrtou' záporné? Podívejme se, můžeme vytknout 3 'x na čtvrtou'. 3 'x na čtvrtou' krát… Vytkneme-li to, zůstane nám tu (2x minus 5). Kdy je to menší než 0? Je to správně? Vyzkoušejme. Pokud to roznásobím, 3 krát 2 je 6, 'x na čtvrtou' krát x je 'x na pátou', 3 krát 5 je 15, 'x na čtvrtou'. Jo, mám to správně. Mám-li součin dvou výrazů a chci, aby to celé bylo záporné, nastane to pouze tehdy, je-li právě jeden z těch výrazů záporný. Buď je tedy 3 'x na čtvrtou' záporné a (2x minus 5) kladné… Barevně to odliším. …nebo 3 'x na čtvrtou' je kladné a (2x minus 5) záporné. Podívejme se. 3 'x na čtvrtou' menší než 0. Vydělíme 3. 'x na čtvrtou' menší než 0. Je možné, aby nějaké číslo na čtvrtou bylo záporné? Předpokládáme reálná čísla. Všechna reálná čísla umocněna na čtvrtou jsou větší nebo rovna nule. Není tedy možné, aby něco na čtvrtou bylo záporné. Toto nebude nikdy menší než nula, můžeme tedy první případ vyloučit. Vyloučíme tento první případ. Zajímá nás tedy jen tento případ. 3 'x na čtvrtou' větší než 0. To bude platit pro všechna x různá od 0. Pro všechna ostatní x to platí. x může být záporné, umocníte-li jej na čtvrtou a vynásobíte 3, výsledné číslo bude větší než 0. Máme tedy podmínku, že 'x' je různé od 0. Podívejme se na to druhé. 2x minus 5 menší než 0. 2x je menší než 5. 'x' je menší než (5 lomeno 2). Je-li 'x' menší než (5 lomeno 2) a různé od 0, bude tato funkce klesající. Chceme-li to zapsat ve tvaru intervalu, můžeme říct, že x… Udělám to novou barvou, aby to nebylo tak jednotvárné. Nemůžu si vybrat. Můžeme říct, že 'x' je menší než 0, nebo 0 je menší než 'x', jež je menší než (5 lomeno 2). 'x' je menší než 0, to jsou všechna záporná čísla, pak v podstatě vynecháváme 0 a pokračujeme až k (5 lomeno 2). Je to celé o tom, že je první derivace záporná. Je-li první derivace záporná, změna f(x) ku x je záporná. Jinými slovy: S rostoucím 'x' klesá f(x).
video