Vyšetřování průběhu funkce
Přihlásit se
Vyšetřování průběhu funkce (11/15) · 9:16

Intervaly konvexnosti a konkávnosti Zkusme si společně nalézt intervaly, na kterých je zadaná funkce konvexní či konkávní, pomocí vyčíslení druhé derivace.

Navazuje na Derivace funkce II.
Mám tu funkci 'g'. Je to polynom stupně 4. Rád bych se zamyslel nad tím, na jakých intervalech je konvexní a na kterých konkávní. Připomeňme si, jak to vypadá. Konvexní. Je-li funkce na intervalu konvexní, pak její sklon roste. Funkce vypadá jako písmeno U. Vidíte, že sklon je záporný a s rostoucím x je méně záporný, blíží se nule, dosáhne nuly a dále je kladný a čím dál tím kladnější. Sklon tedy neustále roste. Převedeme-li to do řeči derivací, znamená to, že první derivace roste. Aby první derivace na intervalu rostla, druhá derivace f(x), f´´(x), vlastně to napíšu jako 'g', v tomto příkladu používám 'g'. Aby první derivace rostla… Konvexní znamená, že je první derivace rostoucí. To znamená, že druhá derivace je větší než 0. Konkávní je pak opačně. Konkávní. Je-li funkce na intervalu konvexní, pak její sklon klesá. g´(x) klesá, tedy můžeme tvrdit, že druhá derivace g(x), g´´(x), je menší než 0. Opět to tu mohu nakreslit. Je-li 'x' menší, máme kladný sklon, který je čím dál tím menší, blíží se nule, dosáhne nuly, pak je záporný a čím dál tím zápornější. S rostoucím 'x' sklon tedy neustále klesá. Abychom našli intervaly, kde je g(x) konvexní či konkávní, musíme najít g´´(x) a hledat body, ve kterých jde od záporné ke kladné, nebo naopak. To pak budou body, ve kterých není g´´(x) definováno, nebo je rovno 0. Nás zajímá chování mezi těmito body. Pak budeme vědět, na jakých intervalech je g(x) konvexní či konkávní. Pusťme se do toho. Zderivujme g(x), abychom zjistili g´(x). 4 krát -1 je -4. -4 'x na třetí' plus… 2 krát 6 je 12. …12 'x na první', tedy 12x. -2 'x na nultou', tedy -2. Derivace -3, derivace konstanty je 0. Teď můžeme hledat druhou derivaci. g´´(x) bude… 3 krát -4 je -12, takže -12 'x na druhou'. Plus 12. Podívejme se, kde by to mohlo být nedefinováno? Druhá derivace je jen kvadratický výraz, který je definován pro všechna 'x'. Bude to tedy definováno pro všechna 'x'. Zajímavé body, kde g´´(x) přechází z kladné do záporné či naopak, jsou ty, kde je tento výraz roven 0. Nalezněme je tedy. Hledejme body, kde je -12 'x na druhou' plus 12 rovno 0. Odečteme 12. -12 'x na druhou' je rovno -12. Vydělíme -12. 'x na druhou' je rovno 1. 'x' je rovno plus nebo minus 1. Tedy odmocnině z 1, což je samozřejmě 1. Druhá derivace je rovna nule v bodech +1 a -1. Intervaly, kde je původní funkce konkávní či konvexní, budou ohraničeny +1 a -1. Zamysleme se nad tím takto. Nakreslím číselnou osu. Nějakou hezkou barvou. Tato je hezká. Nakresleme ji trochu větší. Dobře jsem využil volného místa. Je-li toto 0 a toto -1, -2, toto bude +1 a +2. V bodech 'x' je -1 a 'x' je +1, druhá derivace bude rovna 0. Zamysleme se nad tím, co se děje s druhou derivací, zda je záporná či kladná, abychom podle toho určili, zda je původní funkce g(x) konvexní či konkávní. Na tomto prvním intervalu… Toto je interval od minus nekonečna do -1. Zkusme dosadit hodnotu z intervalu, abychom zjistili, zda je g´´ kladná či ne. Jednoduché by mohlo být dosadit -2. Spočítejme tedy g´´(-2). To je -12 krát 4, neboť -2 na druhou je +4. Je to tedy -48 plus 12, což je rovno -36. Důležité je si uvědomit, že je-li to zde záporné, pak je to záporné na celém intervalu, neboť funkce neprochází nulou ani není nespojitá v žádném bodě. Proto jsme to tak vybrali. Na celém tomto intervalu je g´´(x) menší než 0, což znamená, že původní g(x) je konkávní. Konkávní. Konkávní. Přejděme k intervalu mezi -1 a +1. Otevřený interval (-1, +1). Zkusme dosadit. Zkusme 0, to bude snadné. g´´(0). Je-li 'x' nula, toto je také nula, takže to bude rovno 12. Důležité je si uvědomit, že je-li druhá derivace kladná, původní funkce g(x) je na tom intervalu konvexní. Na intervalu (-1, +1). Konečně se podívejme na interval, kde je 'x' větší než +1. Interval od +1 do plus nekonečna. Chceme-li to takto. Zkusme dosadit. Zkusme g´´(2), 2 je v daném intervalu. g´´(2) bude to samé jako g´´(-2), neboť ať už máme +2 nebo -2, po umocnění je to 4. Budeme mít 4 krát -12, což je -48, -48 plus 12 je -36. Toto je -36 a funkce bude opět konkávní. Předtím jsem si vykreslil graf g(x). Ujistěme se, že náš výsledek opravdu odpovídá grafu. Máme přehled o konvexnosti či konkávnosti, aniž bychom graf skutečně vykreslili. Je však příjemné se na graf podívat. Zkusím, aby byly intervaly pod sebou. Toto je docela přesné. Vlastně to mohu trochu zmenšit. Ještě trochu posunu obrazovku. Tvrdím, že je funkce konkávní na intervalu minus nekonečno až -1. To vypadá správně. Zdá se, že sklon neustále klesá až do bodu -1, přičemž pak začne růst. Od tohoto bodu sklon roste až… V bodě -1 je přechod. Nechám tu tedy značku. Zde sklon roste. Udělám to stejnou barvou. Sklon roste až do bodu +1. Pak sklon opět začne klesat a funkce je opět konkávní. Chci to udělat oranžově. Funkce je opět konkávní. To, co jsme zjistili pomocí derivace a algebraických úprav, snadno vidíme z grafu.
video