Vyšetřování průběhu funkce
Přihlásit se
Vyšetřování průběhu funkce (2/15) · 7:53

Funkce a její stacionární body Co jsou to stacionární body? Jaký je rozdíl mezi globálním a lokálním maximem nebo minimem?

Navazuje na Derivace funkce II.
Nakreslil jsem si žlutě takovýhle graf. Podívejme se, kdy tato funkce nabývá maximální a minimální hodnoty. Pro účely tohoto videa předpokládejme, že graf jde stále dolů, jak se x-ové hodnoty zmenšují a stejně tak, jak se x-ové hodnoty zvětšují. Jak vypadá maximum naší funkce? Vídíme, že je to v tomto bodě. Jedná se o globální maximum, protože funkce zde má absolutně největší hodnotu. Můžeme říci, že funkce nabývá svého maxima v bodě x(0), protože funkční hodnota v bodě x(0) je větší než funkční hodnoty všech ostatních hodnot "x". Podívejme se, jestli najdeme i globální minimum. Zřejmě ne, funkční hodnoty se stále zmenšují, když jdeme do plus minus nekonečna. Takže nemáme žádné globální minimum. Zkusme najít alespoň lokální minimum či minima nebo lokální maximum nebo maxima. Začněme s lokálním minimem. Tady je vidět, že funkční hodnota je menší než funkční hodnoty okolo bodu. Takže tento bod vypadá jako lokální minimum. Definujme si pojem lokální minimum. Jedná se o bod x(1), kde je funkční hodnota menší, než funkční hodnoty pro všechna "x" v okolí bodu x(1). Můžeme také říci, že se jedná o nejnižší bod v okolí bodu x(1). Máme ještě nějaká další lokální minima? Zřejmě už nenajdeme žádné další lokální minimum. Hledejme teď nějaké lokální maximum. Tento bod vypadá jako lokální maximum. Můžeme říci, že v bodě x(2) je lokální maximum. Všechny funkční hodnoty pro ostatní "x" z okolí x(2) jsou menší než v bodě x(2). Vidíme tedy všechna maxima a minima, kterým se také říká extrémy funkce. Podívejme se, jak tyto extrémy souvisí s derivací funkce. Jak vypadá derivace funkce v každém z extrémů? Tečna v tomto bodě je vodorovná, což odpovídá derivaci rovné 0. A co minimum? Stejně jako předtím, i v bodě x(1) je tečna vodorovná, což znamená derivaci v bodě x(1) rovnou 0. A co bod x(2)? Zde není tečna definovaná, protože když se k bodu x(2) blížíme zleva, je derivace kladná, zatímco při přibližování zprava je záporná. V bodě x(2) tedy není derivace definována. Pro nás budou zajímavé body, kde je derivace rovna 0 nebo neexistuje. I když to nemáme přímo dokázané, intuitivně je vidět, že v bodě výskytu extrému je derivace nulová anebo neexistuje. Dejme tomu, že mám funkci definovanou na nějakém intervalu. Tady by bylo maximum. Teď nebudeme mluvit o bodech, které tvoří hranici intervalu, kde samozřejmě může nastat extrém, ale pouze o bodech, které leží uvnitř. Mějme tedy bod uvnitř zkoumaného intervalu, který je minimem nebo maximem. Označme jej jako a. Intuitivně vidíme, že derivace v tomto bodě je buď nulová nebo neexistuje. Na našem grafu vidíme obě dvě možnosti, derivace může být nulová i neexistující. Pro takové body máme název, říká se jim stacionární body. U naší funkce jsou stacionárními body x(0) a x(1), kde je derivace nulová, a také x(2), kde derivace neexistuje. Ještě tedy zopakujme: Pokud máme bod mimo hranici intervalu jedná se o extrém, pak v tomto bodě je derivace nulová nebo neexistuje. Představme si bod někde v těchto místech, označme si jej jako x(3). Když v tomto bodě nakreslíme tečnu, je vodorovná jako v bodech x(0) a x(1). Neboli derivace funkce je v tomto bodě nulová. Ke stacionárním bodům tak přibude ještě bod x(3). Jenže v tomto bodě zřejmě nenastává ani minimum, ani maximum. Takže minimum nebo maximum vždy znamená stacionární bod, ale stacionární bod ještě neznamená minimum nebo maximum. Tyto 3 body jsou stacionární body a v každém z nich nastává minimum nebo maximum. Bod x(3) je také stacionární bod, ale nejedná se o minimum ani maximum. V dalším videu se podíváme, jak můžete rozhodnout, jestli je stacionární bod minimum nebo maximum.
video