Vyšetřování průběhu funkce
Přihlásit se
Vyšetřování průběhu funkce (5/15) · 5:25

Jak rozhodnout, zda je stacionární bod minimum nebo maximum? Když jsme již našli všechny stacionární body, jak poznáme, zda jsou to maxima či minima (anebo ani jedno)?

Navazuje na Derivace funkce II.
V předchozím videu jsme viděli, že naše funkce nabývá v bodě x = a nějaké minimální nebo maximální hodnoty. Takovýto bod potom nazýváme stacionárním bodem. Pak jsme ale také viděli, že naopak to platit nemusí. Stacionární bod nemusí nutně znamenat minimum nebo maximum. V tomto videu se podíváme na kritéria, podle kterých se naučíme rozhodnout, jestli ve stacionárním bodě nastává extrém, nebo nikoliv. Vraťme se nejprve k tomu, co jsme viděli v předchozím videu. Viděli jsme, že v tomto bodě nastává maximum. Tento stacionární bod jsme označili x(0) a derivace v tomto bodě byla rovna 0. Bod, ve kterém je derivace nulová nebo neexistuje,se nazývá stacionární bod. Podívejme se, jak se bude chovat derivace, když se budeme přibližovat k bodu x(0). Funkce je rostoucí, když se k bodu x(0) přibližujeme. Můžeme také říci, že sklon grafu je kladný nebo lépe, že směrnice tečny ke grafu je kladná. Protože směrnice tečny odpovídá derivaci, znamená to, že derivace funkce v bodech vlevo od x(0) je kladná. Co se stane, když přejdeme přes bod x(0)? Přímo v bodě x(0) je derivace 0. A protože funkce vpravo od bodu x(0) klesá, je směrnice tečny neboli derivace vpravo od bodu x(0) záporná. Vypadá to, že jsme našli pěkné kritérium, které nám pomůže při rozhodování, zda je stacionární bod maximum. Řekněme to asi takto: Stacionární bod x = a je maximum, pokud se znaménko derivace při průchodu bodem x = a změní z kladného na záporné. Podívejme se teď na druhé maximum, které je v tomto bodě. Je vidět, že je funkce vlevo od tohoto bodu rostoucí, neboli derivace je kladná. Typ růstu je trochu jiný, protože sklon narůstá a neblíží se k 0. Ale hlavní je kladné znaménko derivace. Při průchodu tímto bodem se náhle znaménko derivace změní na záporné. Jak je vidět, i toto druhé maximum našemu kritériu vyhovuje. Podívejme se teď na tento bod, který jsme měli v minulém videu označený jako x(3). Je vidět, že se nejedná o extrém. Když se k bodu x(3) blížíme, funkce klesá. Přímo v bodě x(3) je derivace nulová a vpravo od bodu x(3) funkce opět klesá. Nedochází tedy ke změně znaménka a tento bod tím nesplňuje naše kritérium. Nejedná se tedy o extrém. Zkusme zformulovat podobné kritérium i pro minimum. V předchozím videu jsme viděli bod x(1), který byl lokálním minimem. Když se k němu budeme blížit, funkce je klesající, derivace je záporná. Při průchodu bodem x(1) je derivace nulová a pak začíná funkce růst, takže derivace je kladná. Kritérium pro minimum tak vypadá podobně: Stacionární bod x = a je minimum, pokud se znaménko derivace při průchodu tímto bodem změní ze záporného na kladné. Podobně jako předtím je vidět, že bod x(3) nevyhovuje tomuto kritériu, protože při průchodu bodem x(3) derivace znaménko nemění. Nejedná se tedy o extrém.
video