Hledání lokálních extrémů funkce pomocí první derivace

V předchozím videu jsme viděli, že pokud funkce nabývá svého minima nebo maxima v bodě x rovno ‚a‘, tak bod ‚a‘ je stacionárním bodem. Pak jsme ale také viděli, že naopak to platit nemusí. To, že x rovno ‚a‘ je stacionární bod, nemusí nutně znamenat, že funkce v tomto bodě nabývá minima nebo maxima. V tomto videu zkusíme přijít na nějaká kritéria, zejména taková kritéria, která využívají derivaci funkce okolo bodu x rovno ‚a‘, která by nám řekla, zda je stacionární bod bodem minima nebo maxima. Vraťme se nejprve k tomu, co jsme viděli v předchozím videu. Viděli jsme, že v tomto bodě funkce nabývá svého maxima. Tento stacionární bod jsme označili x₀ a stacionárním bodem je proto, že derivace je v něm nulová. Stacionární bod je totiž bod, ve kterém je derivace nulová nebo nedefinovaná. Tohle je tedy stacionární bod. Podívejme se, jak se bude derivace chovat, když se k tomuto bodu budeme blížit. Aby šlo o bod maxima, tak funkce musí být rostoucí, když se k němu blížíme. To, že funkce je rostoucí, můžeme také říci tak, že sklon funkce je kladný. Sklon se sice mění, ale je stále kladný, což znamená, že funkce roste. To, že sklon je kladný, znamená, že derivace je větší než 0, když se blížíme k našemu bodu. Co se stane, když přejdeme přes tento bod? Přímo v tomto bodě je sklon nulový, ale jak přes tento bod přejdeme, co se musí stát, aby šlo o bod maxima? Funkční hodnoty musí klesat. Když funkční hodnoty klesají, tak to znamená, že sklon funkce je záporný, což znamená, že derivace je záporná. Vypadá to tedy, že jsme našli pěkné kritérium, pomocí kterého určíme, zda funkce ve stacionárním bodě nabývá maxima. Řekněme tedy, že máme stacionární bod ‚a‘. Funkce v tomto bodě nabývá svého maxima, pokud f(x) s čárkou změní znaménko z kladného na záporné při průchodu bodem x rovno ‚a‘. To je přesně to, k čemu zde došlo. Ověřme, že k tomu dochází i v druhém bodě maxima, který je zde. Když se k tomuto bodu blížíme, funkce roste, což znamená, že sklon je kladný. Sklon je různě kladný, protože se mění, je stále strmější a strmější, neboli víc a víc kladný. Je ale určitě kladný až do tohoto bodu. Po průchodu tímto bodem se z něho stává záporný sklon. Přímo v tomto bodě sklon není definovaný, ale při průchodu naším stacionárním bodem změnil znaménko z kladného na záporné. Oba tyto body tedy splňují naše kritérium pro bod maxima. Toto kritérium tak zatím vypadá docela dobře. Nyní ověřme, že tento bod, o kterém z minulého videa víme, že je stacionární... Označme ho... Myslím, že to byl... Tady bylo x₀, tady x₁ a tady x₂. Tady bylo x₁, zde bylo x₂, takže to bude bod x₃. Ověřme, že tento bod nesplňuje naše kritérium. Je totiž vidět, že se nejedná o maximum. Když se k tomuto bodu blížíme, sklon funkce je záporný. Po průchodu naším bodem je sklon stále záporný, funkce stále klesá. Nedochází ke změně znaménka, a tak tento bod nesplňuje naše kritérium, což je dobře. Nyní zkusme přijít na nějaké kritérium i pro bod minima. Myslím, že už víte, co bude asi následovat. V předchozím videu jsme zjistili, že toto je bod minima. Už od pohledu vidíme, že je to lokální minimum. Jak vypadá sklon, když se blížíme k tomuto bodu? Když se k němu blížíme, tak funkce klesá a její sklon je záporný. f(x) s čárkou je méně než 0, když se blížíme k našemu bodu. A jakmile bodem projdeme... Nešlo by o bod minima, kdyby funkce stále klesala, funkce teď musí růst. Nakreslím to tou stejnou zelenou. Ihned po průchodu bodem funkce začíná opět růst, tedy f(x) s čárkou je větší než 0. Tohle tedy vypadá jako dobré kritérium pro bod minima. f(x) s čárkou mění při průchodu bodem ‚a‘ znaménko ze záporného na kladné. Máme-li nějaký stacionární bod ‚a‘, tak funkce v bodě ‚a‘ nabývá svého minima, pokud derivace funkce mění při průchodu bodem ‚a‘ znaménko ze záporného na kladné. Ze záporného na kladné. Opět můžeme vidět, že tento stacionární bod x₃ nesplňuje toto kritérium, protože sklon je nejdřív záporný, potom je přímo v tomto bodě nulový a pak zase záporný. Nejedná se tedy o bod minima ani maxima.