Vyšetřování průběhu funkce
Přihlásit se
Vyšetřování průběhu funkce (6/15) · 9:42

Hledání lokálních minim a maxim funkce - příklad Nyní je čas na procvičení všeho, co jsme se doteď naučili. Budeme hledat maxima a minima na zadané kubické funkci.

Navazuje na Derivace funkce II.
Máme danou funkci f(x) je rovno (x na třetí) minus 12x plus 2. Účelem tohoto videa je ukázat, jak najdeme body minima a maxima této funkce. Prvním úkolem bude zjistit, jaké jsou stacionární body funkce f(x)... ...neboli body, kde se derivace rovná 0 nebo kde není definována. Derivace (x na třetí) je 3(x na druhou). Derivace -12x je rovno -12. A derivace konstanty se nezmění vzhledem k ‚x‛, takže bude rovna 0. Stacionární body dostaneme, když tento výraz pro určitou hodnotu ‚x‛ bude nedefinovaný nebo roven 0. Jak je vidět, kvadratický výraz je definován pro všechna ‚x‛. Pro nalezení stacionárních bodů stačí položit výraz roven 0. Kdy bude výraz 3(x na druhou) minus 12 roven 0? Vložte 12 na obě strany. Dostanete 3(x na druhou) je rovno 12. Vydělíte 3 a dostanete (x na druhou) je rovno 4. Toto nastane, když ‚x‛ je rovno 2 a ‚x‛ je rovno -2. Abych to ujasnil. f'(2) je rovno 3 krát 4 minus 12, což je rovno 0 a f'(-2) je rovno také 0. Můžeme říct...změním barvu...že funkce má stacionární body v ‚x‛ je rovno 2 a -2. Ale stále nevíme, zda funkce v těchto bodech nabývá minima, maxima nebo ani jednoho. Abychom to zjistili, musíme zjistit, kde derivace mění znaménka okolo těchto bodů. Pojďme zkusit nakreslit derivaci do grafu. Nakreslím zde osu ‚x‛. Nakreslím ji zde, protože možná použijeme tyto informace později, abychom nakreslili funkci f(x). Toto je moje osa ‚x‛. Toto je moje osa ‚y‛. Stacionární body máme tam, kde je ‚x‛ rovno 2 a ‚x‛ je rovno -2. Jak tato derivace bude vypadat, pokud ji budeme chtít nakreslit? Pokud je ‚x‛ rovno 0, tak s derivací jsme na -12. Bod ‚y‛ je roven -12. Nakreslíme, že ‚y‛ se rovná f'(x). Vypadá to nějak takto. Toto jsou zřejmě naše nulové derivace. Derivace roste, aby protla osu ‚x‛ tady a tady. Co udělá derivace v každém, z těchto stacionárních bodů? Zde naše derivace přechází z kladné derivace do záporné. Přecházíme z kladné derivace do záporné derivace, což byla naše podmínka pro stacionární bod, aby byl lokálním maximem. Zde přecházíme ze záporné derivace do kladné derivace, což je naše podmínka proto, aby byl stacionární bod lokálním minimem funkce. Chci se ujistit, že správně chápeme. Pokud nějaká funkce roste, až do určitého bodu a v tom bodě máme derivaci rovnou 0... ...derivace také může být nedefinovaná... ...ale máme derivaci rovnu 0 a funkce začíná klesat, tak to je důvod, proč je to bod lokálního maxima. Podobně, pokud máme situaci, kde funkce klesá do bodu, kde je derivace záporná. Pamatujte, toto je graf derivace. Vyjasním to. Toto je graf ‚y‛ je rovno f'(x). Pokud máme situaci, kdy jdeme do bodu, kde má funkce zápornou směrnici... ...vidíme, že máme zápornou směrnici... ...takže funkce bude vypadat nějak takto. A pak v tomto bodě je funkce buď nedefinovaná, nebo je směrnice rovna 0. V tomto případě má směrnice hodnotu 0. A pak, za tímto bodem... ...udělám to pod tím... Pod ním má směrnice zápornou hodnotu. A zde máme hodnotu směrnice 0. ...Mohl bych to nakreslit lépe... Pokud si to představíme, tak máme zápornou směrnici, v tomto bodě máme směrnici 0 a pak máme kladnou směrnici. Funkce začíná růst. To je důvod, proč zde máme bod lokálního minima. Zde jsem se pokusil naznačit funkci, tak, jak by vypadala zadaná derivacemi, v tomto případě, když přechází z kladné do záporné derivace přes stacionární bod nebo ze záporné do kladné derivace. To je důvod, proč je to podmínka bodu v lokálním maximu a toto je podmínka bodu v lokálním minimu. Můžeme použít tento poznatek, o kterém jsem mluvili, a načrtnout graf f(x)? Zkusme to. Bude to jen náčrt, ne příliš přesný. Ale dá nám náhled na to, jak vypadá tvar f(x). Moje největší snaha. Není nutné to celé kreslit v měřítku. Toto je moje osa ‚x‛ a toto je moje osa ‚y‛. Víme, že máme stacionární bod v ‚x‛ je rovno 2 a ‚x‛ je rovno -2. Z prohlídky už víme, že ‚y‛ protíná graf f(x), když je ‚x‛ rovno 0, tudíž f(x) je rovno 2. Udeříme právě zde... Nechci to kreslit celé ve stejném měřítku, jako osa ‚x‛. Řekněme, že toto je 2. Zde se budeme křížit. Tady bude naše protnutí s osou ‚y‛. Už jsme řekli, že máme bod lokálního maxima v ‚x‛ je rovno -2. Jaké bude f(-2)? f(-2) je rovno -8. A pak budeme mít 12 krát -2, což je -24. Ale mi to přičteme. Přičteme -24. Je to plus 24. A nakonec máme plus 2. -8 plus 24 plus 2...to bude záporné... ...podívejte -8 plus 24 je 16 plus 2 je 18. f(-2) je rovno 18. Nenakreslím to celé v měřítku, ale řekněme že zde je 18. Toto je funkce. Toto je bod -2;18. A víme, že je to bod lokálního maxima. Derivace jdoucí do tohoto bodu je kladná. Derivace jdoucí do tohoto bodu je kladná... Tudíž roste. Směrnice je kladná. A poté, co překročíme tento bod, směrnice se stane zápornou. Derivace protne osu ‚x‛ a směrnice se stane zápornou. ...Použiji stejnou barvu... Vypadá to takto. A pak graf protne... ...protne osu ‚y‛ takto. A pak, jak se budeme blížit 2, tak se přiblížíme dalšímu stacionárnímu bodu. A teď, jaké je f(2)? f(2) bude rovno 8 minus 24 plus 2. To je 10 minus 24, což je rovno -14. Řekněme, že bod -14 je zde. Vlastně to můžu nakreslit. Řekněme, že je to -14. Toto f(2) zde. Už jsme viděli, že směrnice je záporná, jakmile se tomu přiblížíte. Naše funkce je klesající, když se k tomu přibližujeme. A zde je směrnice 0. Toto jsme zjistili už dříve, takto jsme totiž identifikovali stacionární body. A pak směrnice roste, derivace je kladná. Směrnice roste. Takto by vypadal náš náčrt f(x) s těmito stacionárními body. Identifikovali jsme 2, jako bod lokálního minima. Toto byl bod lokálního minima. Funkce dosahuje svého lokálního minima, když je ‚x‛ rovno 2. A funkce dosahuje svého lokálního maxima, když je ‚x‛ rovno -2.
video