Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (18/23) · 9:26

Derivace součinu funkcí - důkaz Odkud se vlastně pravidlo pro derivaci součinu funkcí vzalo a jak dokážeme jeho platnost?

Navazuje na Derivace funkce.
Cílem tohoto videa je dát vám uspokojivý důkaz součinového pravidla. Začněme s definicí derivace. Tedy pokud mám funkci f(x) a chtěl bych získat její derivaci, podle definice je derivace f(x) limitou pro 'h' jdoucí k 0 funkce f (x plus h) minus f(x), to celé lomeno 'h'. Pokud bychom si to chtěli představit, je to tangens úhlu dané funkce a tak dále, ale já chci udělat něco trochu zajímavějšího. Chci najít derivaci podle 'x' nejen funkce f(x), ale součinu dvou funkcí, f(x) krát g(x). A pokud pro to naleznu jednoduchý postup, je to v podstatě součinové pravidlo. Pokud pouze aplikujeme definici derivace, tedy limitu pro 'h' jdoucí k 0, dělitel bude 'h' a dělenec... (Napíšu si to velké, půjde o velký výraz...) V děliteli budu mít 'h' a pak si vyčíslím tento součin v bodě (x plus h). Tedy f (x plus h) g (x plus h), a od toho odečtu součin v bodě f(x). Pardon, součin v bodě 'x'. Bude to tedy f(x) g(x). Navíc si zde nechám hodně volného místa, za chvíli uvidíte proč. Takže pokud si toto vyčíslím v bodě 'x', bude to minus f(x) g(x). Zatím jsem pouze aplikoval definici derivace na f(x) krát g(x) místo f(x). Tedy je to f (x plus h) g (x plus h) minus f(x) g(x), to celé lomeno 'h', limita pro 'h' jdoucí k 0. Teď, proč jsem si tu nechal tolik prostoru? Protože v tuhle chvíli se nezdá, že by výraz šel snadno upravit, nevím, jak tuhle limitu vyhodnotit, není zde žádný zřejmý postup. To, co vám ukážu, je takový malý trik. Sám bych na něj asi nepřišel, možná pokud bych na něm strávil hodiny. Někdo se tím zřejmě zabýval tak dlouho, až si řekl: „Počkat, pokud si zde přičtu a odečtu stejný výraz, už je možné výraz upravovat a získat to, co všichni známe jako klasické součinové pravidlo.“ Tedy co zde přičtu a odečtu? Trochu vám napovím. Pokud máme plus... Nebo to raději změním na minus f (x plus h) g(x). Nemůžu to jen odečíst, když to odečtu, musím to také přidat, abych nezměnil hodnotu výrazu. Tedy plus f (x plus h) g(x). Nyní hodnota zůstala stejná, pouze jsem přičetl a odečetl stejnou věc, ale s výraz už lze algebraicky upravovat, abychom se dostali k tomu, co všichni milujeme na součinovém pravidlu. Pokud vám během sledování dojde, jak dál, klidně zastavte video. Podívejme se blíže na tento výraz. Celý výraz se bude rovnat limitě pro 'h' jdoucí k 0. Takže první věc, na kterou se zaměřím, je tato část výrazu, konkrétně si vytknu f (x plus h). Tedy po vytknutí f (x plus h) bude tato část f (x plus h)... f (x plus h) krát... Zůstane zde g (x plus h). Tedy 'g'... (Tohle je trochu jiný odstín zelené...) g (x plus h), to je zde, minus g(x). Jejda, zapomněl jsem závorky. Špatná barva! Mám nový program a špatně se mi mění barvy. Omlouvám se, tohle není jednoduchý důkaz a to nejmenší, co můžu udělat, je měnit rychleji barvy. Dobře, tedy g (x plus h) minus g(x), to je zde, to celé lomeno 'h'. To celé lomeno 'h', to je tahle část, pak tahle část... Tahle část, je to pořád lomeno 'h', takže to raději zakroužkuju takhle. Tedy tuhle část můžu přepsat jako... Zde bude plus... Nebo já tady raději vytknu g(x). Tedy plus g(x)... Plus g(x) krát tohle f (x plus h), krát f (x plus h)... Minus tohle f(x). Minus to f(x), To celé lomeno 'h'. A z vlastnosti limit víme, že limita celého tohoto výrazu bude stejná jako limita tohoto pro 'h' jdoucí k 0 plus limita tohoto pro 'h' jdoucí k 0. A limita tohoto součinu bude stejná jako součin limit. Tedy pokud využiju obě tyto vlastnosti, můžu celý tento výraz přepsat jako limitu... Udělám si tady nějaký základ... Limita pro 'h' jdoucí k 0 f (x plus h), f (x plus h) krát... ... krát limita pro 'h' jdoucí k 0 celého tohoto výrazu, g (x plus h) minus g(x), minus g(x)... To celé lomeno 'h'. Zřejmě už tušíte, kam to směřuje. Velmi vzrušující. Plus limita... Napíšu to trochu čitelněji... ... plus limita pro 'h' jdoucí k 0 g(x) (naše pěkně hnědě zbarvené g(x)), krát (protože tu je součin) limita... ... limita pro 'h' jdoucí k 0 f (x plus h), f (x plus h) minus f(x), minus f(x)... To celé lomeno 'h'. Pro čitelnost přidám pár závorek tady, tady, tady a tady. Vše, co jsem udělal, je, že jsem přepsal limitu tohoto součtu na součet těchto limit, tedy limita tohohle plus limita tohohle, a poté jsem si přepsal limitu součinu jako součin limit. Tedy jsem využil těchto vlastností limit. Tak si je vyhodnoťme. Co je limitou... (Udělám to různými barvami.) Co je limitou tohoto výrazu? Jde o limitu pro 'h' jdoucí k 0 f (x plus h). No to bude jednoduše f(x). Teď k té zajímavější části, co je tohle? Limita pro 'h' jdoucí k 0 g (x plus h) minus g(x), to celé lomeno 'h'. To je prostá definice derivace, jde o derivaci g. Tohle bude derivace g(x), tedy g'(x). Máme tedy součin těchto dvou výrazů a k tomu je pak plus... Co je limitou pro 'h' jdoucí k 0 g(x)? Zde ani není žádné 'h', bude to tedy g(x). Takže plus g(x) krát limita... (Tahle byla hnědou, ta poslední žlutou...) ... krát limita pro 'h' jdoucí k 0, a už se blížíme ke konci, fanfáry prosím, limita pro 'h' jdoucí k 0 f (x plus h) minus f(x), to celé lomeno 'h'. To je definice derivace f(x). Tedy f'(x). Hotovo. Derivace f(x) krát g(x) je toto. Pokud bych to tedy chtěl zapsat stručněji, jde o f(x) krát derivace g(x) podle 'x' plus g(x) krát derivace f(x) podle 'x'. Jinými slovy, tohle je první funkce krát derivace druhé funkce plus druhá funkce krát derivace první. Tohle je důkaz, nebo jeden z důkazů součinového pravidla.
video