Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (21/23) · 5:40

Řetízkové pravidlo - důkaz Řetízkové pravidlo funguje za předpokladu spojitosti a diferencovatelnosti funkcí. Společně si to tu vysvětlíme.

Navazuje na Derivace funkce.
V tomto videu bych rád dokázal známé, užitečné a svým způsobem elegantní (a občas nechvalně známé) řetězové pravidlo. A pokud jste sledovali některá videa o "derivovatelnosti a spojitosti" a o tom, co se děje se spojitou funkcí, když se změna v 'x', pokud je 'x' nezávislá proměnná, blíží nule, jak se ta změna v naší funkci blíží nule, pak je tenhle důkaz vlastně překvapivě přímočarý. Takže se do toho pusťme. A tohle je jen jeden z mnoha důkazů řetězového pravidla. Tak, řetězové pravidlo nám říká, že když je 'y' funkcí 'u', které je funkcí 'x', a my u toho chceme zjistit derivaci, takže to chceme derivovat podle 'x', mohli bychom to napsat jako derivaci 'y' podle 'x'. Což se bude rovnat derivaci 'y' podle 'u', krát derivace 'u' podle 'x'. Tohle nám říká řetězové pravidlo. Ale jak ho vlastně dokážeme? No, musíme si připomenout, že derivace 'y' podle 'x'... Derivace 'y' podle 'x' se rovná limitě pro delta 'x' se blíží k nule změny v 'y' lomeno změnou v 'x'. Teď tu můžeme udělat nějaké algebraické změny, abychom představili změnu v 'u', tak pojďme na to. Tohle bude to samé jako limita pro delta 'x' se blíží k nule, a tuhle část přepíšu sem. V podstatě budu dělit a násobit změnou v 'u'. Takže to můžu přepsat jako delta 'y' lomeno delta 'u' krát delta 'u', jejda... ... krát delta 'u' lomeno delta 'x'. Změna v 'y' lomeno změna v 'u', krát změna v 'u' lomeno změna v 'x'. A můžete vidět, že tady budou čísla, takže naše změna v 'u' se vyruší s tímhle a zbude vám změna v 'y' lomeno změna v 'x', což je přesně to, co tady máme. Takže zatím nic převratného. Ale čemu se to bude rovnat? Čemu se to bude rovnat? No, limita výsledku je stejná jako výsledek limity, takže to bude stejné jako limita pro delta 'x' se blíží k nule... (Vybarvím to.) ... tohohle, delty 'y' lomeno delty 'u', krát... (Možná to dám do závorky.) ... krát limita... ... limita pro delta 'x' se blíží k nule, delta 'x' se blíží k nule, tohohle. Dám to do závorek. Delta 'u' lomeno delta 'x'. Takže na co se to zjednoduší? No tohle, tohle je definice, a pokud předpokládáme (a aby to vůbec mohla být pravda, musíme předpokládat), že 'u' a 'y' jsou derivovatelné v 'x'. Takže předpokládáme, aby to mohla být pravda, předpokládáme... Předpokládáme, že 'y' čárka 'u' jsou derivovatelné... ... jsou derivovatelné v 'x'. Taky platí: pokud jsou derivovatelné v 'x', znamená to, že jsou spojité v 'x'. Ale pokud je 'u' derivovatelné v 'x', pak tahle limita existuje a tohle je derivace... Tohle je 'u' nad 'x', nebo 'du' lomeno 'dx', takže tohle tady... ... můžeme přepsat jako 'du' lomeno 'dx'. Myslím, že chápete, kam to směřuje. A tohle tady, jen když se podíváte na to, jak je to tady napsané, to nemůžeme úplně nazývat 'dy' lomeno 'du', protože tohle je limita pro delta 'x' se blíží k nule, ne limita pro delta 'u' se blíží k nule. Ale musíme si připomenout, že výsledky, nejspíš z předešlého videa, záleží na tom, jak se na ně díváte. Což znamená, pokud máme funkci 'u', která je někde spojitá, pak, když se delta 'x' blíží k nule, delta 'u' se blíží nule. Takže to můžeme vlastně přepsat... Můžeme to přepsat rovnou tady. Místo toho, že řekneme, že delta 'x' se blíží k nule, to bude mít ten efekt, protože 'u' je derivovatelné v 'x', což znamená, že je spojité v 'x', a to znamená, že delta 'u' se bude blížit k nule. Jak se naše změna v 'x' stává menší a menší, naše změna v 'u' se stane menší a menší a menší. Takže to můžeme přepsat: pro změnu v 'u' se blíží k nule, a přepíšeme to takhle. Takže je to jen 'dy' lomeno 'du'. Tohle je jen 'dy', derivace 'y' podle 'u'. Takže takhle, když předpokládáme, že 'y' a 'u' jsou derivovatelné v 'x', nebo by se dalo říct, že 'y' je funkcí 'u', která je funkcí 'x'. Zrovna jsme ukázali, celkem jednoduchou algebrou a pomocí pár předpokladů o derivovatelnosti a spojitosti, že toto je skutečně ten případ, když derivace 'y' podle 'x' se rovná derivaci 'y' podle 'u' krát derivace 'u' podle 'x'. Snad vám ten důkaz přijde přesvědčivý.
video