Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (10/23) · 4:48

Derivace logaritmů o různých základech Z minulého videa víme, jak se derivuje přirozený logaritmus. Nyní si zopakujeme převádění logaritmů na jiný základ a z toho odvodíme obecnou derivaci logaritmů.

Navazuje na Derivace funkce.
Z předešlého videa víme, že derivace podle 'x' z přirozeného logaritmu ln x je rovna 1 děleno x. To, co zde chci dělat, je použít znalosti, které jsme získali v ostatních videích, k tomu, abychom pochopili, co je derivace podle 'x' z logaritmu o libovolném základu. Takže tento logaritmus nazvu logaritmus čísla 'x' o základu 'a'. Takže jak toto vyřešíme? No, klíčová věc je to, co už můžete znát z hodin algebry nebo úvodu do diferenciálního a integrálního počtu. A to je změna základu logaritmu. Takže pokud mám nějaký... (Udělám to tady.) ... nějaký logaritmus čísla 'b' o základu 'a' a chtěl bych to změnit na jiný základ, řekněme, na základ 'c', tak je to totéž co logaritmus čísla 'b' o základu 'c' lomeno logaritmus čísla 'a' o základu 'c'. Logaritmus 'b' o základu 'c' lomeno logaritmus 'a' o základu 'c'. Toto je opravdu užitečná věc, a pokud jste ji nikdy předtím neviděli, tak jsem vám ji právě ukázal. A dokázali jsme ji v ostatních videích na Khanově akademii. A je skutečně užitečná, protože, například, vaše kalkulačka má tlačítko logaritmu. Logaritmus na vaší kalkulačce je logaritmus o základu 10. Takže pokud stisknete na kalkulačce 100 a stisknete logaritmus, vyjde vám číslo 2. Takže kdykoliv uvidíte logaritmus ze 100, je to implicitně o základu 10. A také máte tlačítko pro přirozený logaritmus, což je logaritmus o základu 'e'. Přirozený logaritmus 'ln x' je roven logaritmu 'x' o základu 'e'. Ale někdy chcete najít všechny druhy logaritmů o různých základech a tohle je způsob, jak to udělat. Takže pokud používáte svou kalkulačku a chcete najít, čemu se rovná logaritmus čísla 8 o základu 3, napsali byste do kalkulačky log 8 a log 3. Nebo... Napíšu to takto... log 3. Kde oba z nich mají implicitně základ 10, a dostali byste stejnou hodnotu, kdybyste vydělili přirozený logaritmus z 8 přirozeným logaritmem ze 3. Což možná také máte na své kalkulačce. A co budeme dělat v tomto videu, je využití přirozeného logaritmu, protože víme, co derivace z přirozeného logaritmu je. Takže tato derivace je to samé jako derivace podle 'x'... No a logaritmus čísla 'x' o základu 'a' může být přepsán jako přirozený logaritmus 'x' lomeno přirozený logaritmus 'a'. A teď, přirozený logaritmus 'a' je jen číslo, můžu ho přepsat jako... Napíšu to takto: 1 děleno přirozený logaritmus 'a' krát přirozený logaritmus 'x'. A jaká je derivace tohoto? Můžeme si dát dopředu konstantu. 1 děleno přirozený logaritmus 'a' je jen číslo. Takže dostaneme 1 děleno přirozený logaritmus 'a' krát derivace podle 'x' z přirozeného logaritmu 'x'. Z přirozeného logaritmu 'x'. Což už víme, že je 1 děleno x. Takže tento výraz zde je 1 děleno x. Takže nám vyjde 1 děleno přirozený logaritmus 'a' krát 1 děleno x, což můžeme zapsat jako 1 děleno (přirozený logaritmus 'a' krát x). Což je velice užitečné vědět. Takže teď bychom mohli vzít všechny druhy derivací. Takže kdybych vám řekl, že f(x) je rovno logaritmu čísla 'x' o základu 7, tak teď můžeme říct, že f'(x) bude 1 lomeno (přirozený logaritmus 7 krát x). Kdybychom měli konstantu, například g(x)... g(x) je rovno -3 krát logaritmus o základu, řekněme... ...o základu π. π je číslo. Logaritmus čísla 'x' o základu π, g'(x) by bylo rovno 1 lomeno... Musím být opatrný, mám tady tuto konstantu. Takže by to bylo -3 lomeno... ...je to tato -3... ...lomeno přirozený logaritmus π. Toto je přirozený logaritmus tohoto čísla. Krát x. Tak doufejme, že vám to něco dalo.
video