Derivace logₐx (pro libovolný základ a≠1)

Z předešlého videa víme, že derivace podle 'x' z přirozeného logaritmu x je rovna 1 děleno x. To, co zde chci dělat, je použít znalosti, které jsme získali dříve, k tomu, abychom zjistili, čemu je rovna derivace podle 'x' z logaritmu o libovolném základu. Takže tento logaritmus nazvu logaritmus čísla 'x' o základu 'a'. Takže jak toto vyřešíme? Klíčová věc je to, co už můžete znát z algebry nebo úvodu do diferenciálního počtu. A to je změna základu logaritmu. Takže pokud mám nějaký… Udělám to tady. ...logaritmus čísla 'b' o základu 'a' a chtěl bych to změnit na jiný základ, řekněme na základ 'c', tak je to stejné jako: logaritmus čísla 'b' o základu 'c' lomeno logaritmus čísla 'a' o základu 'c'. Logaritmus 'b' o základu 'c' lomeno logaritmus 'a' o základu 'c'. Toto je opravdu užitečná věc, a pokud jste ji nikdy předtím neviděli, tak jsem vám ji právě ukázal. A dokázali jsme ji v ostatních videích na Khanově akademii. A je skutečně užitečná, protože například vaše kalkulačka má tlačítko logaritmu. Logaritmus na vaší kalkulačce je logaritmus o základu 10. Takže pokud stisknete na kalkulačce 100 a stisknete logaritmus, vyjde vám číslo 2. Takže kdykoliv uvidíte logaritmus ze 100, je to implicitně o základu 10. Máte tlačítko pro přirozený logaritmus, což je logaritmus o základu 'e'. Přirozený logaritmus x je roven logaritmu 'x' o základu 'e'. Ale někdy chcete najít všechny druhy logaritmů o různých základech a tohle je způsob, jak to udělat. Takže pokud používáte svou kalkulačku a chcete najít, čemu se rovná logaritmus čísla 8 o základu 3, napsali byste do kalkulačky log 8 a log 3. Napíšu to takto… Přičemž oba z nich mají implicitně základ 10 a dostali byste stejnou hodnotu, kdybyste vydělili přirozený logaritmus z 8 přirozeným logaritmem ze 3. Což možná také máte na své kalkulačce. A my v tomto videu budeme využívat přirozeného logaritmu, protože víme, čemu je rovna derivace přirozeného logaritmu. Takže tato derivace je to samé jako derivace podle 'x'… Logaritmus čísla 'x' o základu 'a' může být přepsán takto: přirozený logaritmus 'x' lomeno přirozený logaritmus 'a'. Přirozený logaritmus 'a' je jen číslo, můžu ho přepsat jako… Napíšu to takto: 1 děleno přirozený logaritmus 'a' krát přirozený logaritmus 'x'. Čemu je rovna derivace tohoto? Můžeme si dát dopředu konstantu. 1 děleno přirozený logaritmus 'a' je jen číslo. Takže dostaneme 1 děleno přirozený logaritmus 'a', a to vynásobíme derivací podle 'x' z přirozeného logaritmu 'x'. Což už víme, že je 1 děleno x. Takže tento výraz je 1 děleno x. Takže nám vyjde 1 děleno přirozený logaritmus 'a' krát 1 děleno x, což můžeme zapsat jako 1 děleno (přirozený logaritmus 'a' krát x). Což je velice užitečné vědět. Takže teď umíme počítat všechny druhy derivací logaritmů. Takže kdybych vám řekl, že f(x) je rovno logaritmu čísla 'x' o základu 7, tak teď můžeme říct, že f'(x) bude 1 lomeno (přirozený logaritmus 7 krát x). Kdybychom měli konstantu, například g(x)… g(x) je rovno −3 krát logaritmus o základu, řekněme o základu π. π je číslo. Logaritmus čísla 'x' o základu π. g'(x) by bylo rovno 1 lomeno… Musím být opatrný, mám tady tuto konstantu. Takže by to bylo −3 lomeno… Je to tato −3. …lomeno přirozený logaritmus π. Toto je přirozený logaritmus tohoto čísla. …krát x. Doufám, že vám to nějak pomohlo.