Derivace funkce II
Derivace funkce II (4/23) · 6:42

Je pravidlo na derivaci mocniny smysluplné? Nyní nás čeká intuitivní dovysvětlení pravidla pro derivaci mocnin, které jsme si zavedli v předchozím videu.

Navazuje na Derivace funkce.
V tomto videu chci zjistit, jestli pravidlo pro derivaci mocniny dává rozumné výsledky. Toto rozhodně není důkaz pravidla pro derivaci mocniny, ale alespoň se nám pak bude lépe používat. Takže vezměme si f(x) se rovná x. Pravidlo pro derivaci mocniny nám říká, že f'(x) se bude rovnat čemu? No, 'x' je to samé jako 'x' na první, takže 'n' je tady 1. Takže si dáme tu 1 dopředu, bude to 1 krát 'x' na (1 minus 1), takže to bude 1 krát 'x' na nultou. 'x' na nultou je 1, takže se to bude rovnat 1. Teď, dává to celkově smysl, že se tyto funkce snažíme zobrazit? Tak to zkusme nakreslit. Zkusím tyto funkce graficky znázornit. Tak toto je moje osa y. Toto je moje osa x. Teď si načrtnu 'y' se rovná 'x'. Takže zde se 'y' rovná f(x). Tudíž, 'y' se rovná 'x'. A vypadá to asi takto. Takže, 'y' se rovná 'x', tedy f(x) se rovná 'x', neboli 'y' se rovná tomu f(x) tam. Teď, ta derivace... Vlastně jen f(x), aby vás to nemátlo... Takže toto tady je f(x) rovná se 'x', což jsem načrtnul tady. 'y' rovná se f(x), které se rovná 'x'. Znázorním tu derivaci. Znázorním f'(x). Což je 1. Takže to bude 1 pro všechna 'x', bez ohledu na to, co 'x' je, to bude rovno 1. Odpovídá to tomu, co víme o derivacích a směrnicích a tak? Dobrá, podívejme se na funkce. Jaká je směrnice přímky, přesněji tečny v tomto bodě? No, směrnice tady toho je nepřetržitě 1, neboli je to konstantní směrnice 1. Směrnice je rovna 1 bez ohledu na to, co je 'x'. Je to přímka. A pro přímku je směrnice neměnná. Takže tu je směrnice opravdu 1. V tomto bodě je směrnice zase 1. V tomto bodě je směrnice také 1. Takže máme celkem dobrou odpověď. Teď zkusíme něco, kde se směrnice může měnit. Mám g(x) je rovno 'x' na druhou. Pravidlo pro derivaci mocniny nám říká, že g'(x) bude rovno čemu? Dobře, 'n' je rovno 2, takže to bude 2 krát 'x' na (2 minus 1), neboli to bude rovno 2 krát 'x' na první. Bude to rovno 2x. Podívejme se, jestli to dává smysl. A tuhle se pokusím načrtnout trochu lépe. Načrtnout trochu přesněji, tak uvidíme, jak dobře to načrtnu. Jak přesně to načrtnu. Tohle je osa x, osa y. Něco tu vyznačím. Tohle je 1, 2, 3, 4, 5. Tohle je 1, 2, 3, 4. 1, 2, 3, 4. Takže když 'x' je 0, g(x) je 0. Když 'x' je 1, g(x) je 1. Když 'x' je -1, g(x) je 1. Pokud 'x' je 2, g(x) je 4. To nás dává támhle, 1, 2, 3, 4. To nás dává tam. Když 'x' je -2, g(x) je 4. Je to parabola, tu vídáte už roky. Takže to vypadá jako... To vypadá jako... (Ten bod jsem dal moc vysoko.) Vypadá to asi takto. Vypadá to jako... Vlastně jsem dal ty poslední dva body trochu divně. Takže to by mohlo být tady, takže to vypadá asi takto. Vypadá to asi tak, a když přejdu sem, tady to vypadá... Vypadá to asi tak. Je to symetrické, snažím se to načrtnout smysluplně. Tady to máte. To je graf g(x) se rovná 'x' na druhou. Teď načrtneme g'(x). Co nám říká pravidlo na derivaci mocniny, že g'(x) je? g'(x) je rovno 2x, takže je to vlastně přímka, která jde počátkem, má směrnici 2. Vypadá to asi takto, když 'x' je 1, 'y' je 2. Když 'x' je 2, 'y' nebo g(x) je rovno 4. Takže to vypadá nějak takto. Pokusím se nakreslit rovnou čáru. Vypadá to asi takto. Teď, dává to smysl? Když se na to mrknete, když se podíváte na ten bod tady, a chcete se zamyslet nad směrnicí té tečny... Pokusím se to načrtnout. Udělám to barvou, která je trochu výraznější. Takže sklon tečny by vypadal asi takto. Takže to vypadá, jako by to mělo opravdu velký záporný sklon. Jo, je to určitě záporný sklon, a pěkně strmý záporný sklon. Tedy, pro 'x' rovno 2, g'(2)... Promiňte, když se 'x' rovná -2, g'(-2) je rovno 2 krát -2, což je rovno -4. Takže to říká, že směrnice v tomto bodě... Takže tohle je -4... Říká to, že směrnice v tomto bodě je -4. 'm' se rovná -4. To vypadá dobře. Je to hodně strmý záporný sklon. Co se stane, když půjdete sem, kde je 'x' rovno 0? Naše derivace, g'(0), nám říká, že směrnice naší původní funkce 'g' v bodě 'x' rovno 0 je 2 krát 0, což je 0. Dává to smysl? Když půjdeme k naší původní parabole, tak to vskutku dává smysl. Sklon tečny vypadá asi takto. Jsme v bodě minima, jsme ve vrcholu. Směrnice opravdu bude 0. A co když půjdeme sem, kde se 'x' rovná 2? Sklon tečny... Tady ta tečna vypadá asi takto. Vypadá jako celkem strmý kladný sklon. Co říká derivace, na základě pravidla o derivaci mocniny? Říká, g'... Říká to vlastně: "Řekni mi, jaká je směrnice tečny ke 'g', když 'x' je rovno 2." My jsme na to přišli, bude to 2 krát 'x'. Bude to 2 krát 2, což je rovno 4. Říká nám to, že směrnice tady je 4. Že směrnice... (A já používám 'm', 'm' se obvykle používá ke značení směrnice.) Říká nám to, že směrnice tečny tady je 4, což vypadá úplně rozumně. Takže, vybízím vás, zkuste si to sami. Zkuste si odhadnout směrnice výpočtem, braním bodů blíže a blíže okolo těch bodů a uvidíte, že pravidlo pro derivaci mocniny dává výsledky, které mají smysl.
video