Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (13/23) · 3:44

Derivace inverzního cosinu Odvození derivace arcus cosinu. Výsledek si porovnáme s derivací inverzního sinu.

Navazuje na Derivace funkce.
V předchozím videu jsme si ukázali, že derivace inverzního sinu x se rovná 1 lomeno druhá odmocnina z (1 minus x na druhou). A zase vám doporučuji, abyste si pozastavili video a zkusili spočítat to stejné pro derivaci inverzního kosinu x. Naším cílem je vyřešit derivaci podle x inverzního kosinu x. Čemu se to bude rovnat? Předpokládám, že jste se nad tím zamysleli a teď to pojďme vyřešit spolu. A jako minule, pojďme dát toto y rovno tomuto výrazu. Y se rovná inverzní kosinus x. Což je stejné jako x se rovná kosinu y. Teď zderivujeme obě strany podle x. Na levé straně nám vyjde pouze 1. A napravo máme derivace kosinu y podle y, což je záporný sinus y krát derivace y podle x, což je dy lomeno dx. A dostaneme... Když vydělíme obě strany záporným sinem y, dostaneme dy lomeno dx je rovno -1 lomeno sinus y. A jak už jsme viděli dříve, tohle je již poměrně uspokojující. Ale máme tu derivaci podle y. A my ji chceme podle x. A víme, že x je kosinus y. Pojďme zkusit přepsat tento spodní výraz, aby obsahoval kosinus y místo sinu x. A víme, jak jsme viděli v minulém videu, že podle Pythagorovy věty kosinus na druhou y plus sinus na druhou y je roven 1. Víme, že sinus y se rovná odmocnina z (1 minus kosinus na druhou y). Toto se rovná -1, je to jen přeskládaná Pythagorova věta. Toto se rovná 1 minus kosinus. Mohl bych to zapsat jako kosinus na druhou y, ale zapíšu to takto, protože to pak bude o něco jasnější. A co je kosinus y? Samozřejmě, že je to x. Toto se rovnná -1 lomeno odmocnina z (1 minus, namísto kosinu y... (Snažím se změnit barvy, místo psaní) místo kosinu y můžeme napsat 1 minus x. 1 minus (x na druhou). A tady to máme. Derivace podle x inverzního kosinu x je... Teď jsem tu barvu ztratil. Udělám to červeně. Je rovno -1 lomeno odmocnina z (1 minus x na druhou). Tohle je tedy úplně jasné. A můžeme to porovnat s derivací inverzního sinu. Dám to vedle sebe, abychom viděli, že jediný rozdíl je v tom, že tady je sinus. Jen to zkopíruji. A vložím to sem dolů. A pojďme je porovnat vedle sebe. Vidíme, že když máme derivaci podle x inverzního kosinu, máme -1 lomeno odmocnina z (1 minus x na druhou). A když se podíváme na derivaci inverzního sinu, výsledek je stejný, jen je tentokrát kladný.
video