Derivace inverzního kosinu

V předchozím videu jsme si ukázali, nebo můžeme říci, že jsme dokázali, že derivace inverzního sinu v bodě x je 1 lomeno odmocnina z (1 minus x na druhou). Nyní vám doporučuji, abyste si zastavili video a zkusili udělat stejný typ důkazu pro derivaci inverzního kosinu v bodě x. Naším cílem je tedy spočítat derivaci podle x z inverzního kosinu v bodě x. Čemu se to bude rovnat? Předpokládám, že jste si to už zkusili, teď to pojďme vyřešit spolu. Tak jako minule položme y rovno tomuto výrazu, tedy y se rovná inverzní kosinus v bodě x. Tohle je totéž jako říct, že x se rovná cos(y). Nyní zderivujme obě strany podle x. Na levé straně nám vyjde pouze 1. Na pravé straně to bude derivace cos(y) podle y, což je minus sin(y), krát derivace y podle x, což je dy lomeno dx. Dostaneme... Když obě strany vydělíme minus sin(y), dostaneme, že dy lomeno dx je rovno -1 lomeno sin(y). Jak už jsme viděli dříve, tohle je sice docela uspokojivý výsledek, ale derivaci máme vyjádřenou pomocí y, přičemž my ji chceme vyjádřit pomocí x. Víme, že x je cos(y). Zkusme tedy tento výraz dole přepsat tak, aby obsahoval cos(y) namísto sin(y). Už v minulém videu jsme viděli, že můžeme použít goniometrickou jedničku, tedy to, že kosinus na druhou v bodě y plus sinus na druhou v bodě y se rovná 1. Z toho získáme, že sin(y) je odmocnina z (1 minus kosinus na druhou v bodě y). Toto se tedy rovná −1... Jen jsme upravili vzoreček známý jako goniometrická jednička. ...tady bude 1 minus kosinus... Mohl bych to zapsat jako kosinus na druhou v bodě y, ale zapíšu to takto, protože to pak bude o něco jasnější. A co je cos(y)? To je samozřejmě x. Toto se tedy rovná −1 lomeno odmocnina z (1 minus... Namísto cos(y)... Snažím se změnit barvy. ...namísto cos(y) můžeme napsat 1 minus x na druhou. A je to. Derivace podle x z inverzního kosinu v bodě x je... Myslím, že jsem tu barvu ztratil. Udělám to růžovou. ...se rovná −1 lomeno odmocnina z (1 minus x na druhou). Tohle se hodí vědět. Můžeme to porovnat s derivací inverzního sinu. Dám to vedle sebe. Vidíme, že jediný rozdíl je ve znaménku. Jen to zkopíruji a vložím sem dolů. Když už to máme vedle sebe, pojďme to porovnat. Vidíme, že když máme derivaci podle x z inverzního kosinu, tak to je −1 lomeno odmocnina z (1 minus x na druhou), zatímco když se podíváme na derivaci podle x z inverzního sinu, tento výraz je stejný, jen je tentokrát kladný.