Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (14/23) · 6:02

Derivace inverzního tangentu V tomto videu si odvodíme vzorec, podle kterého budeme derivovat arcus tangens.

Navazuje na Derivace funkce.
Již víme, že derivace podle x tangentu x se rovná sekans na druhou x, což je samozřejmě to stejné jako 1 lomeno cosinus na druhou x. V tomto videu budeme zjišťovat, stejně jako v posledních několika videích, jaká je derivace inverzní funkce tangentu x, neboli pojďme zjistit, jaká je derivace podle x inverzního tangentu x. Doporučuji vám pozastavit si video a vyzkoušet způsob velmi podobný tomu, který jsme používali v minulých dvou videích, abychom zjistili výsledek. Dejme do rovnosti y a inverzní tangens x, y se rovná inverzní tangens x. Je to jako říct, že tangens y je roven x. Můžete si to představit jako bych vzal tangens z obou stran, a teď můžeme obě strany zderivovat podle x. Na levé straně použijeme řetězové pravidlo. Derivace tangentu y podle y je sekant na druhou y, neboli 1 lomeno cosinus na druhou y. Raději to píši takto. Je to pro můj mozek o něco jednodušší. Když použijeme řetězové pravidlo, bude to derivace tangentu y podle y krát krát derivace y podle x. A na pravé straně je derivace x podle x, což se rovná 1. A dále, když řešíme derivaci y podle x, jen vynásobíme obě strany cosinem na druhou y. A vyjde nám, že derivace y podle x se rovná cosinu na druhou y. A jak jsme již viděli v předchozích videích, tohle nám nestačí, máme tady derivaci y podle x jako funkci y. Nás ale zajímá, jak se to zapíše jako funkce x. Abychom toho dosáhli, musíme toto vyjádřit jako tangens y. A proč to potřebujeme vyjádřit jako tangens y? Víme totiž, že tangens y je to stejné jako x. Pomocí trigonometrických funkcí to můžeme vyjádřit trošku jinak. Potom, s tangentem y, můžeme dát všude x místo tangent y. Pojďme zjistit, jestli to dokážeme. Tohle vypadá poměrně obtížně. Máme tu tangens y, ale rádi bychom tu měli sinus dělený cosinem, což je tangens. A tohle je jen cosinus na druhou y. Tohle bude trošku složitější než naše dva předchozí příklady, které jsme dělali. Můžeme to třeba vydělit 1. Dělění 1 ničemu neuškodí. Můžeme říct, že tohle je to stejné jako cosinus na druhou y. Dělám to, abych mohl... ...chci to vyjádřit jako výraz, jako racionální výraz, který by obsahoval sinus dělený cosinem, což je tangens. Pojďme to tedy vydělit 1. Ale víme z Pythagorovy věty, že 1 se rovná sinus na druhou y plus cosinus na druhou y, můžeme tedy napsat cosinus na druhou y plus sinus na druhou y. Ještě jednou, proč jsem to mohl vydělit tímto výrazem? Tento výraz, Pythagorova věta, vychází z definice trigonometrických funkcí na jednotkové kružnici, se rovná 1, takže jsme nezměnili hodnotu našeho výrazu. Teď to bude zajímavější, když se sem snažím zavést sinus dělený cosinem . Můžu vydělit čitatel a jmenovatel cosinem na druhou, pojďme to udělat, vynásobme to 1 lomeno cosinus, neboli vydělme čitatel cosinem y na druhou a vydělme jmenovatel cosinem y na druhou. Nebo také vynásobíme oba členy (1 lomeno cosinus na druhou y). A co nám vyjde? V čitateli, toto se vykrátí a zbyde nám pouze 1. Ve jmenovateli toto krát tohle, vyjde nám 1. A pak máme sinus na druhou y lomeno cosinus na druhou y, což bylo to, čeho jsme se celou dobu snažili dosáhnout, máme tady sinus dělený cosinem na druhou. Toto je to stejné, napíšu to takto. Tohle je to stejné jako sinus y lomeno cosinus y. To celé na druhou, což je samozřejmě to stejné jako 1 lomeno (1 plus tangens y nadruhou). Tohle se rovná tomuto. A proč je to užitečné? Víme, že x se rovná tangens y. Toto se tedy rovná 1 lomeno (1 plus tangens y, což je x) x nadruhou, je to celkem vzrušující. Právě jsme vypočítali derivaci y podle x. Takže derivace tohoto podle x je 1 lomeno (1 plus x nadruhou). Můžeme to napsat sem nahoru. Toto se rovná 1 lomeno (1 plus x na druhou). A máme hotovo.
video