Derivace funkce inverzní tangens

Už víme, že se derivace podle x z funkce tangens v bodě x rovná sekans na druhou v bodě x, což je samozřejmě to stejné jako 1 lomeno kosinus na druhou v bodě x. V tomto videu, podobně jako v posledních několika videích, spočítáme derivaci inverzní funkce k funkci tangens v bodě x, neboli spočítáme, kolik je derivace podle x z funkce inverzní tangens v bodě x. Doporučuji vám zastavit si video a vyzkoušet způsob velmi podobný tomu, který jsme používali v minulých dvou videích, abyste tohle spočítali. Položme y jako inverzní tangens v bodě x. y se rovná inverzní tangens v bodě x. To je totéž jako říct, že tan(y) se rovná x. Můžete si to představit tak, že jsem na obě strany použil funkci tangens. Nyní můžeme obě strany zderivovat podle x. Na levé straně použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce. Derivace tan(y) podle y je sekans na druhou v bodě y, což je totéž jako 1 lomeno kosinus na druhou v bodě y. Raději to píši takto. Alespoň pro můj mozek je to o něco jednodušší. Když použijeme vzorec pro derivaci složené funkce, tak to je derivace tan(y) podle y krát derivace y podle x. Na pravé straně je derivace x podle x, což se rovná 1. Nyní chceme osamostatnit derivaci y podle x, takže obě strany vynásobíme kosinem na druhou v bodě y. Vyjde nám, že derivace y podle x se rovná kosinus na druhou v bodě y. Už v předchozích videích jsme viděli, že tohle nám ještě nestačí, protože derivaci y podle x máme vyjádřenou jako funkci y. My ji ale chceme napsat jako funkci x. Abychom toho dosáhli, musíme tohle vyjádřit pomocí tan(y). tan(y) se nám bude hodit proto, protože už víme, že tan(y) se rovná x, takže když tohle pomocí goniometrických vzorečků nějak přepíšeme na výraz, který obsahuje tan(y), můžeme všude místo tan(y) napsat x. Tak to pojďme zkusit. Vypadá to obtížně. Abychom dostali tan(y), tak bychom tu rádi měli sinus dělený kosinem, taková je definice funkce tangens. Tady je ale jen kosinus na druhou v bodě y. Tohle bude trošku složitější než naše dva předchozí příklady, které jsme udělali. Můžeme to třeba vydělit 1. Dělení 1 ničemu neuškodí. Můžeme říct, že toto se rovná kosinus na druhou v bodě y... Tohle dělám proto, abych to mohl vyjádřit jako nějaký racionální výraz, který by nakonec obsahoval sinus dělený kosinem, tedy tangens. Vydělme to tedy 1. Identita známá jako goniometrická jednička nám však říká, že 1 se rovná sinus na druhou v bodě y plus kosinus na druhou v bodě y. Tak to napišme. Sem tedy můžeme napsat kosinus na druhou v bodě y plus sinus na druhou v bodě y. Ještě jednou, proč jsem to mohl vydělit tímto výrazem? Podle goniometrické jedničky, jež plyne z definice goniometrických funkcí na jednotkové kružnici, se tohle rovná 1, takže jsme nezměnili hodnotu našeho výrazu. Teď už to bude zajímavější, protože když tu chci mít sinus dělený kosinem, tak čitatel i jmenovatel můžu vydělit kosinem na druhou. Pojďme to udělat. Vynásobme to 1 lomeno kosinus... Čitatel vydělme kosinem na druhou v bodě y a také jmenovatel vydělme kosinem na druhou v bodě y, neboli oboje vynásobíme výrazem 1 lomeno kosinus na druhou v bodě y. Co nám vyjde? V čitateli se nám tohle pokrátí a zbyde nám pouze 1. Ve jmenovateli se toto krát tohle rovná 1 a pak tam máme sinus na druhou v bodě y lomeno kosinus na druhou v bodě y, což je to, čeho jsme se celou dobu snažili dosáhnout. Nyní tu máme sinus na druhou dělený kosinem na druhou. Tohle je totéž jako... Raději to napíšu takto. ...tohle je totéž jako sin(y) lomeno cos(y), to celé na druhou, což je to samé co 1 lomeno (1 plus tan(y) na druhou). Tenhle výraz se rovná tomuhle. K čemu je to užitečné? Víme, že x se rovná tan(y), takže tohle se rovná 1 lomeno (1 plus... tan(y) se rovná x. ...x na druhou), což je poměrně vzrušující, protože jsme právě spočítali derivaci y podle x. Derivace tohoto podle x je tedy 1 lomeno (1 plus x na druhou). Můžeme to napsat sem nahoru. Toto se rovná 1 lomeno (1 plus x na druhou). A máme hotovo.