Derivace funkce II
Přihlásit se
Derivace funkce II (22/23) · 9:02

Pravidlo součinu a řetízkové pravidlo - příklad Názorné vyřešení příkladu derivace x na x a následné využití tohoto příkladu k vypočítání ještě těžší derivace x^(x^x).

Navazuje na Derivace funkce.
Klasickým příkladem na diferenciální rovnice je příklad y se rovná x na x. A naším úkolem je zjistit, jaká je derivace y podle x. Hodně lidí vyděsí, že exponent není konstatní, takže nemohou pro derivaci použít obvyklé vzorce. Jak to uděláme? Fígl spočívá v tom, abychom použili přirozený logaritmus na obou stranách rovnice. A to je to, co budeme později řešit v tomto videu. Když vezmeme přirozený logaritmus na obou stranách rovnice, dostaneme, že přirozený logaritmus y se rovná přirozenému logaritmu x na x. A teď přijdou na řadu vzorce, logaritmové vzorce. Když mám přirozený logaritmus něčeho na něco, je to jako... můžu napsat, že přirozený logaritmus x na x se rovná x krát přirozený logaritmus x. Celé to tedy přepíšu. Když vezmu přirozený logaritmus obou stran rovnice, dostanu, že přirozený logaritmus y se rovná x krát přirozený logaritmus x. Teď můžeme zderivovat obě strany rovnice podle x. Derivace podle x tohoto a potom derivace podle x tohoto. Teď použijeme něco málo z řetízkového pravidla. Jaká je derivace tohoto podle x? Jaká je derivace našeho vnitřního výrazu podle x? Jedná se o implicitní diferenciaci, takže je to dy podle x krát derivace tohoto celku podle této vnitřní funkce. Derivace přirozeného logaritmu x je 1/x. A derivace přirozeného logaritmu y podle y je 1/y. Takže krát 1/y. A derivace tohoto, je to jen pravidlo součinu, jen tady prohodím barvy, je to derivace prvního členu, což je 1, krát druhý člen, takže krát přirozený logaritmus x plus derivace druhého členu, což je 1/x krát první člen, neboli krát x. A dostaneme dy/dx krát 1/y se rovná přirozený logaritmus x plus 1, z tohoto je 1, vidíte, x děleno x a pak vynásobíme obě strany krát y. A dostaneme dy/dx se rovná y krát (přirozený logaritmus x plus 1). A pokud se vám nelíbí toto samotné y, můžete udělat substituci: y se rovná x na x. Můžeme tedy říct, že derivace y podle x se rovná x na x krát (přirozený logaritmus x plus 1). Je to zábavný příklad, ale často se uvádí jako záludný, někdy i jako bonusový, protože lidé nevědí, že mají použít přirozený logaritmus obou stran rovnice. Ale máme tu ještě těžší příklad. A ten jdeme vyřešit právě teď. Ale je dobře, že jsme vyřešili tento příklad, protože z něj můžeme vyjít. Ten těžší příklad, který budeme řešit, je následující. Zapíšu to. Náš příklad je y se rovná x na... a tady je ten zádrhel x na x na x. A my chceme zjistit dy/dx. Chceme zjistit derivaci y podle x. Abychom příklad vyřešili, budeme v podstatě postupovat stejně. Použijeme přirozený logaritmus, abychom prolomili náš exponent a dostali se k něčemu, s čím umíme zacházet. Můžeme použít pravidlo součinu. Vezmeme si přirozený logaritmus obou stran rovnice, jako jsme to dělali minule. Vyjde nám, že přirozený logaritmus y se rovná přirozenému logaritmu x na x na x. A toto celé je náš exponent. Můžeme to tedy přepsat jako x na x krát logaritmus x. Teď je náš výraz, naše rovnice zjednodušená na: logaritmus y se rovná x na x krát logaritmus x. Ale stále tady máme to ošklivé x na x. A neznáme žádný jednoduchý způsob, jak to zderivovat, ale před chvílí jsem vám ukázal, jaká je derivace tohoto, takže toho můžu rovnou využít. Chtěl jsem ten přirozený logaritmus udělat celý znovu, jenže to by pak bylo nepřehledné a matoucí, ale uvědomil jsem si, že v tomhle videu už jsme derivaci x na x vyřešili. Ten výsledek máme tady. Je to tento bláznivý výraz. Musíme si to jen pamatovat, použít a vyřešit tak i tento příklad. Pojďme tedy řešit náš příklad. Kdybychom to předtím nevyřešili... máme díky tomu nečekanou výhodu, že jsme řešili jednodušší verzi příkladu. Mohli jsme počítat s přirozenými logaritmy, ale bylo by to o něco nepřehlednější. Ale když víme, jaká je derivace x na x, pojďme toho využít. Zderivujeme tedy obě strany rovnice. Derivace tohoto se rovná této derivaci. A tohoto si zatím nebudeme všímat. Derivace tohoto podle x je derivace logaritmu y podle y. Je to 1/y krát derivace y podle x. To je jen řetízkové pravidlo. Naučili jsme se to u implicitní diferenciace. A toto se rovná derivaci prvního členu krát druhý člen. Zapíšu to sem, protože nechci přeskakovat kroky a mást tím lidi. Toto se tedy rovná derivaci podle x z x na x na x krát logaritmus z x plus derivace podle x z logaritmu x krát x na x. Pojďme se zaměřit na pravou stranu naší rovnice. Jaká je derivace x na x podle x? Tento příklad jsme přeci již řešili. Je to x na x krát (logaritmus x plus 1). Takže toto, udělám to jinou barvou. Už jsem zapomněl, co to bylo... Bylo to x na x krát (logaritmus x plus 1). Tohle je x na x krát (logaritmus x plus 1) A vynásobíme to krát logaritmus x. A teď to přidáme k... plus derivace logaritmu x. To je celkem jednoduché, je to 1/x krát x na x. A samozřejmě levá strana rovnice byla jen 1/y krát dy/dx. Teď můžeme vynásobit obě strany krát y, abychom dostali dy/dx se rovná y krát celá tahle šílená věc: x na x krát (logaritmus x plus 1) krát logaritmus x plus 1/x krát x na x. To je x na -1. Můžeme to přepsat jako x na -1 a pak můžeme přidávat exponenty. Můžeme to zapsat jako x na (x minus 1). A pokud se nám nelíbí toto y, můžeme to substituovat zpátky. y se rovná tomuto, této šílenosti. Takže naše konečná odpověď na tento zdánlivě... na jednu stranu to vypadá jako jednoduchý příklad, na druhou stranu když si uvědomíte, co nám to říká, je to vlastně těžké - získáte, že derivace y podle x se rovná y, což je tohle. Toto je tedy x na x na x krát toto celé, krát x na x krát (logaritmus x plus 1) krát logaritmus x, a to celé plus x na (x minus 1). Kdo by si to pomyslel, že matematika umí být i elegantní. Zderivujete něco takového a dostanete něco tak elegantního. Například když si vezmete derivaci logaritmu x, dostanete 1/x. Je to jednoduché a elegantní a je hezké, že to matematika takhle vyřešila. Ale někdy to uděláte... Někdy řešíte něco, co vypadá jednoduše a elegantně, a pak vám vyjde něco strašného, co nevypadá hezky, ale je to poměrně zajímavý příklad. A tady ho máte.
video